Osnovni elementi planetnih staza
B1.2
Podaci o osnovnim elementima planetnih staza (tablica B1.2.1) ukazuju nam na geometrijske osobitosti gibanja planeta. Na temelju njih možemo izvesti zaključke o veličini, obliku i prostornoj orijentaciji planetnih staza, te saznati vrijeme ophoda planeta oko Sunca i u odnosu na Zemlju, kao i srednju brzinu revolucije planeta oko Sunca. Neki od elemenata planetskih staza već su opisani kod razmatranja Zemljinog gibanja (podpoglavlje A1.2), ali je njihovo značenje još jednom protumačeno i na ovom mjestu.
Velika poluos staze (a)
Ovim se elementom određuje veličina planetnih staza. Planeti se gibaju po elipsama, a s obzirom da je masa Sunca mnogo veća od mase bilo kojeg planeta, u jednom od žarišta (fokusa) elipsi nalazi se Sunce. Sunce je u žarištu koje je zajedničko svim eliptičnim stazama planeta. Žarišta leže na velikoj osi elipse (slika B1.2.1). Mala os elipse okomita je na veliku os i siječe je u središtu C elipse. Polovica duljine velike osi elipse naziva se velika poluos i obično se označava sa slovom “a“. Mala poluos obično nosi oznaku “b“. Za svaku točku elipse vrijedi da je zbroj njene udaljenosti od dvaju žarišta (zbroj radijusvektora r1 i r2) konstantan, pri čemu vrijedi:
r1 + r2 =2a
Polovica razmaka žarišta (c) mjera je izduženosti elipse. Ova se veličina naziva linearni ekscentricitet. Velika poluos elipse ujedno je i srednja udaljenost planeta od Sunca:
gdje su rm i rM najmanja, odnosno najveća udaljenost planeta od Sunca.
U tablici B1.2.1 (kao i u tablici B1.3.1) planeti su redom navedeni upravo po veličini njihovih srednjih udaljenosti od Sunca. U tablici B1.2.1 nalazimo i brojčane vrijednosti velikih poluosi planetnih staza. Iskazane su u astronomskim jedinicama (AJ). Astronomska jedinica približno je jednaka srednjoj udaljenosti Zemlje od Sunca i iznosi 149,597870.106 km. Pokušajmo, na temelju podataka iz tablice, dočarati relativne omjere veličina planetnih staza. U umanjenom mjerilu takvom da astronomska jedinica odgovara jednom metru, Merkur bi bio 38 cm udaljen od Sunca, Venera 72 cm, Zemlja 1 m. Najudaljeniji planet Neptun trebao bio bi 30 m daleko od Sunca!
TABLICA B1.2.1 OSNOVNI ELEMENTI PLANETNIH STAZA*
Planet |
velika poluos |
numerički ekscentri-citet |
Inklina-cija |
siderički period |
srednji sinodički period |
Srednja brzina revolucije |
||
|
AJ |
106 km |
|
o |
jul.godina |
dana d |
km/s |
|
Merkur |
0,387 |
57,9 |
0,205 |
7,0 |
0,241 |
115,9 |
47,9 |
|
Venera |
0,723 |
108,2 |
0,007 |
3,4 |
0,615 |
583,9 |
35,0 |
|
Zemlja |
1 |
149,6 |
0,017 |
0 |
1,00002 |
‑ |
29,8 |
|
Mars |
1,52 |
227,9 |
0,094 |
1,9 |
1,881 |
779,9 |
24,1 |
|
Jupiter |
5,20 |
778,6 |
0,049 |
1,3 |
11,857 |
398,9 |
13,1 |
|
Saturn |
9,58 |
1433,5 |
0,057 |
2,5 |
29,42 |
378,1 |
9,7 |
|
Uran |
19,20 |
2872,5 |
0,046 |
0,8 |
83,75 |
369,7 |
6,8 |
|
Neptun |
30,05 |
4495,1 |
0,011 |
1,8 |
163,72 |
367,5 |
5,4 |
|
*Elementi planetnih staza su promjenjivi i stoga se kod navođenja njihovih preciznih vrijednosti ističe i epoha za koju se odnose njihove vrijednosti. U tablici su navedene približne vrijednosti za recentno razdoblje.
Numerički ekscentricitet (e)
Numerički ekscentricitet (e) planetnih staza definiran je kao omjer linearnog ekscentriciteta c i velike poluosi a:
e = c/a. (B1.2.1)
Za razliku od linearnog ekscentriciteta koji se mjeri u jedinicama za udaljenost, numerički ekscentricitet je bezdimenzionalna veličina. Također je mjera za izduženost staze. Na temelju podataka iz tablice B1.2.1 vidimo da najveći ekscentricitet staze ima Merkur. Njegova staza najviše odstupa od odgovarajuće kružne staze. Najmanje izduženu stazu ima Venera. Pluton, koji je nekad smatran planetom, ima relativno veliki numerički ekscentricitet staze (oko 0,25). Zanimljiva posljedica toga je da se u pojedinim razdobljima Pluton nalazi u manjoj udaljenosti od Sunca negoli Neptun.
Inklinacija (i)
Inklinacija je kut koji zatvara ravnina staze nekog planeta Sunčeva sustava s ravninom Zemljine staze oko Sunca (ravnina ekliptike). Kod direktnog gibanja je i < 90o, dok je za retrogradno gibanje i > 90o. Od planeta vidljivih i bez teleskopa najveću inklinaciju ima Merkur (7o). Njegova inklinacija “utjecala” je na definiciju zodijaka, pojasa nebeske sfere širokog nešto više od dvostruke vrijednosti inklinacije Merkura. Unutar ovog pojasa prividno se gibaju planeti vidljivi golim okom, a također i većina ostalih tijela Sunčeva sustava. Pojas raspolovljava ekliptika, po kojoj se prividno giba Sunce. Prividno gibanje tijela Sunčeva sustava po relativno uskom području nebeske sfere posljedica je činjenice što su ravnine njihovih staza oko Sunca vrlo malo nagnute u odnosu na ravninu Zemljine staze (sl. B1.2.2).
Sl. B1.2.2 Položaj nekih planetnih staza u odnosu na ravninu ekliptike. Kut između ravnine planetne staze i ekliptike naziva se inklinacija.
Uz veliku poluos, numerički ekscentricitet i inklinaciju, postoji još nekoliko veličina kojima jednoznačno određujemo prostorni položaj planetne staze i koje služe kod proračuna položaja planeta na njihovoj stazi i na nebeskoj sferi, što je detaljnije obrađeno u B3. Te se veličine definiraju u odnosu na ravninu ekliptike i proljetnu točku i prikazane su na slici B1.2.3. Uzlazni čvor planetne staze je točka u kojoj staza planeta siječe ravninu ekliptike, a u kojoj planet u svom godišnjem gibanju prelazi s južne nebeske polutke (u odnosu na ekliptiku) na sjevernu. Silazni čvor je točka u kojoj planet prelazi sa sjeverne strane ekliptike na južnu. Položaj uzlaznog čvora određuje se ekliptičkom duljinom (longitudom) uzlaznog čvora ( Ω). To je kutna udaljenost uzlaznog čvora od proljetne točke. Inklinacija i ekliptička duljina W orijentiraju ravninu gibanja planeta u prostoru. Položaj elipse u toj ravnini određuje se položajem njezina perihela. U tu svrhu definiran je argument perihela (ω) ‑ kut od uzlaznog čvora do velike poluosi na kojoj je perihel. Često se koristi i longituda (duljina) perihela (p) koja je jednaka zbroju ekliptičke duljine uzlaznog čvora i argumenta perihela (Ω +ω). Uočimo da je π “razlomljeni” kut, koji se broji dijelom po ekliptici i dijelom u ravnini planetne staze. Kutovi Ω i ω broje u smjeru gibanja planeta oko Sunca, koji je jednak za sve planete Sunčeva sustava. Vrijednosti elemenata koji određuju položaj planetne staze publiciraju se u astronomskim godišnjacima. Radi praćenja gibanja planeta, uz spomenute, definiraju se još dvije veličine: siderički (ili zvjezdani) period ophoda (revolucije) planeta i trenutak u kojem planet prolazi perihelom, podatak koji se također nalazi u astronomskim godišnjacima.
Sl. B1.2.3 Elementi koji određuju prostorni položaj planetne staze: ekliptička duljina uzlaznog čvora (Ω), inklinacija (i) i argument perihela (ω).
Siderički period ophoda planeta (T)
Siderički period ophoda ili revolucije planeta je vrijeme u kojem planet jednom obiđe oko Sunca. Radijusvektor planeta za vrijeme sideričkog perioda opiše 360o. Siderički period ophoda Zemlje iznosi 365,25636 dana. U tablici B1.2.1 dani su siderički periodi planeta iskazani u julijanskim godinama (365,25d). Planeti udaljeniji od Sunca imaju veći period ophoda (prisjetimo se trećeg Keplerovog zakona: kvadrati vremena ophoda planeta odnose se kao kubovi njihovih srednjih udaljenosti od Sunca). Uslijed uzajamnih gravitacijskih utjecaja (perturbacija) treći Keplerov zakon u stvarnosti je narušen. Stoga se siderički periodi ophoda planeta razlikuju od onih koji slijede neposredno iz trećeg Keplerovog zakona. Primjera radi, stvarni je period ophoda Jupitera reda veličine sata dulji od onog koji slijedi iz trećeg Keplerovog zakona, dok je kod Saturna stvarni period nekoliko dana kraći.
Sinodički period (S)
Sinodički period planeta je vrijeme za koje planet dođe u isti položaj u odnosu na Zemlju. Jednostavni primjer je povratak gornjeg planeta (udaljenijeg od Sunca nego Zemlja) u tzv. opoziciju, tj. položaj u kojem su Sunce, Zemlja i gornji planet na približno istom pravcu, a naš planet je tada između Sunca i dotičnog planeta. Za Mars ovaj vremenski interval iznosi 779,9 dana. Ovo se čini velikim periodom kada znamo da se Mars relativno brzo giba u odnosu na zvjezdanu pozadinu, a istovremeno on za vrijeme jednog obilaska Zemlje oko Sunca prijeđe tek polovicu svog godišnjeg puta. Međutim, da bi Mars ponovo došao u ponovno u opoziciju, Zemlja mora obići nešto više od dva puta oko Sunca. Jupiter npr. jednom obiđe oko Sunca za 11,86 godina, a u opoziciju dolazi svakih 398,9 dana. Naime, za vrijeme jedne godine Jupiter prijeđe tek dvanaestinu svog godišnjeg puta, pa ga Zemlja lakše “dostigne”. Udaljeni planeti gibaju se još sporije, tako da u opozicije dolazi za još kraće vrijeme.
Veza sideričkog i sinodičkog perioda
Sinodički period ophoda je vrijeme za koje planet dođe u isti položaj u odnosu na Zemlju. Mjeri se neposrednim opažanjem. Siderički period ophoda gornjeg planeta odgovara vremenu u kojem planet ponovno dođe u opoziciju. Za donji planet (bliži Suncu negoli Zemlja) sinodički period ophoda odgovara vremenu između dvije uzastopne tzv. donje konjunkcije planeta (Zemlja, planet i Sunce su približno na istom pravcu, a planet je između Zemlje i Sunca). Siderički period je vrijeme ophoda planeta oko Sunca u odnosu na udaljene zvijezde. Otuda i nazivi siderički ili zvjezdani period ophoda. Siderički i sinodički period mogu se povezati izrazom na temelju kojeg možemo iz poznavanja jednog od tih perioda izračunati drugi. Taj izraz možemo izvest ćemo iz razmatranjem gibanja jednog od donjih planeta. Neka je u nekom trenutku planet došao u donju konjunkciju (položaj 1 planeta i Zemlje na slici B1.2.4). Kako se planet giba brže od Zemlje, on će do iduće konjunkcije (položaj 2) opisati oko Sunca puni kut i još kut α. To se događa za vrijeme jedne sinodičke godine planeta (S). U istom vremenu Zemlja je po svojoj stazi prevalila kut a. Puni kut Zemlja bi opisala za vrijeme svoje sideričke godine (A). Prema tome vrijedi omjer:
,
pri čemu α iskazujemo u stupnjevima.
Potražimo još jedan omjer. Puni kut planet opiše za vrijeme svoje sideričke godine (T), dok kut 90o ‑ a prijeđe za vrijeme sinodičke godine. Sam kut a prelazi za vrijeme koje je jednako razlici sinodičke i sideričke godine. Dakle, vrijedi:
.
Izjednačavanjem desnih strana posljednjih dviju relacija nalazi se izraz koji povezuje sinodički i siderički period ophoda donjih planeta:
. (B1.2.2)
Izraz koji vrijedi za gornje planete izvodi se sličnim postupkom. Izraz glasi:
. (B1.2.3)
Uslijed eliptičnosti planetnih staza i vremenskih promjena elemenata planetnih staza, sinodička godina nije uvijek ista. Stoga kada upotrebljavamo gornje izraze, a koji su izvedeni uz pretpostavku da je gibanje planeta oko Sunca jednoliko gibanje po kružnici, ispravno je reći da se S odnosi na srednju sinodičku godinu.
Sl. B1.2.4 Uz izvod izraza koji povezuje siderički i sinodički period ophoda planeta
Srednja brzina revolucije (v)
Srednja brzina revolucije, odnosno srednja obodna ili linearna brzina gibanja planeta oko Sunca, može se izračunati iz omjera godišnjeg puta kojeg prijeđe planet i sideričkog perioda ophoda. Obično se iskazuje u kilometrima po sekundi. Kako se planeti gibaju po eliptičnim stazama, njihova brzina revolucije je promjenjiva. Kada je planet bliži Suncu, giba se brže. Brzina planeta mijenja se tako da radijusvektor planeta u stalnim vremenima opisuje jednake površine (drugi Keplerov zakon). No, treba naglasiti da promjene brzine revolucije planeta nisu velike, jer su ekscentriciteti planetnih staza relativno mali. Uz obodnu, često se upotrebljava i kutna brzina revolucije planeta. Definira se kao omjer kuta kojeg opiše radijusvektor planeta u pripadnom vremenskom intervalu. Srednja kutna brzina gibanja planeta jednaka je omjeru punog kuta i sideričkog perioda ophoda planeta.
Izračunajte:
1. Kolika je najveća, a kolika najmanja moguća udaljenost Marsa od Zemlje. Za srednju udaljenost Marsa od Sunca uzmite 227,9.106 km, a za numerički ekscentricitet njegove staze oko Sunca 0,094? Neka je srednja udaljenost Zemlje od Sunca 149,6.106 km, a numerički ekscentricitet Zemljine staze 0,017.
/396 milijuna kilometara i 54 milijuna kilometara/
2. Izračunajte siderički period Marsa znajući da je njegov sinodički period 780 dana!
/688 dana/
3. Koliki je siderički period zamišljenih planeta ako je njihov sinodički period 3 godine?
/donji planet 3/4 godine; gornji 3/2 godine/
4. Kolika bi bila srednja udaljenost planeta od Sunca čiji bi sinodički period ophoda iznosio jednu godinu?
/0,63 AJ/