Hrvatski

Elementi staza dvostrukih zvjezdanih sustava

Dvostruki sustav zvijezda kojeg smo do sada razmatrali (sl.4) znatno je pojednostavljen.

Sl. 4 Primjer dvostrukog sustava

Pretpostavili smo da se zvijezde gibaju oko zajedničkog centra masa po kružnicama te da im staze nisu priklonjene u odnosu na doglednicu. Stvarne situacije znatno su složenije. Općenito se komponente sustava gibaju po elipsama. Velike poluosi staza leže na istom pravcu, a zvijezde u svom gibanju zauzimaju dijametralno suprotne položaje u odnosu na žarište elipse u kojem je centar masa. Pri tome je omjer udaljenosti zvijezda od centra masa konstantan. Položaj u kojem su zvijezde najbliže nazivamo periastron. Treći Keplerov zakon za ovaj sustav (problem dvaju tijela koja se gibaju po eliptičnim stazama) dan je izrazom:


(22a)

kojeg možemo pisati i u jednostavnijem obliku:



(22b)

pri čemu je masa izražena u jedinicama Sunčeve mase, udaljenost u astronomskim jedinicama i vrijeme u godinama.

Za razliku od izraza:



koji vrijedi za slučaj gibanja komponenti po kružnicama, u izrazima (22) umjesto zbroja polumjera kružnih staza pojavljuje se zbroj velikih poluosi elipsi (staza komponenti):

a = a1 + a2 (23)

Ravnina gibanja komponenti dvostrukih sustava općenito je priklonjena u odnosu na doglednicu. Stoga je potrebno razlikovati stvarne staze zvijezda od njihovih prividnih staza, koje su projekcija gibanja komponenti u ravninu tangencijalnu na nebesku sferu. Kod definiranja elemenata staza dvostrukog sustava zvijezda, uobičajeno je razmatrati gibanje sekundarne komponente (pratioca) u odnosu na glavnu (primarnu) komponentu sustava. Opažanjem se određuje kutna udaljenost ρpratioca (B) od glavne komponente (A), kao i tzv. pozicijski kut θ, koji je definiran u odnosu na pravac zvijezda­sjever i broji se u smjeru suprotnom od smjera kazaljke na satu (sl. 7). Ako se pozicijski kut povećava tijekom vremena, tada takvo gibanje nazivamo direktnim.

Sl. 7 Dvostruki sustav zvijezda kako ga vidi opažač. Glavna zvijezda označena je s A, dok je B pratilac. Gibanje dvostrukog sustava određuje se mjerenjem razmaka ρ komponenti i pozicijskog kuta θ.

Radi praćenja dinamike dvostrukog sustava uobičajeno je odabrati pravokutni koordinatni sustav, u čijem je ishodištu glavna komponenenta A. Da bi sustav bio kompatibilan sa spektroskopskim opažanjima, x­os postavljamo u pravac glavna zvijezda­istok (AE), a y­os u pravac glavna zvijezda­sjever (AN). Takvim izborom z­os je položena u smjeru doglednice i u slučaju udaljavanja pratioca osigurano je da je njegova radijalna brzina pozitivna. Kod vizualnih dvostrukih zvijezda mjerenjem kutova ρ i θ nalazimo samo koordinate x i y:

x = ρ sinθ (24a)

y = ρ cosθ (24b)

pri čemu nemamo informaciju o z­koordinati. Nasuprot tome, kod spektroskopski dvostrukih zvijezda mjerenja daju iznos promjene z­komponente vektora položaja u odnosu na centar masa.

Sl. 8 Uz definiciju elemenata staza dvostrukog sustava zvijezda.

Za definiranje elemenata staza dvostrukih sustava zvijezda poslužit ćemo se slikom 8, koja prikazuje nebesku sferu u čijem je središtu glavna komponenta A. Ravnina ZLM je okomita na doglednicu. Točka N označuje smjer sjevera, a E istoka. Koordinatna z­os je u pravcu AO. Velika kružnica XLX’ predstavlja sjecište ravnine staza gibanja komponenti sustava i nebeske sfere. Kružnica XLX’ presijeca kružnicu ZLM u dvije točke: uzlaznom i silaznom čvoru. U slučaju gibanja pratioc, kako je naznačeno strelicom na slici 8, točka L predstavlja uzlazni čvor. Kutna udaljenost NL = Ω je pozicijski kut uzlaznog čvora. Kut u vrhu L, trokuta XLZ, je inklinacija (i), koja poprima vrijednosti:

0o < i < 90o za direktno gibanje, 90o < i < 180o za retrogradno gibanje.

Položaj pratioca u periastronu (kada je najbliže glavnoj zvijezdi), označen je s P. Općeniti položaj pratioca u nekom vremenu t, označava točka T. Pripadne projekcije(iz točke A) položaja P i T na nebesku sferu označit ćemo s P’ i T’. Kut LP’ = ω, nazivamo argumentom periastrona, dok je P’T’ = f, prava anomalija u trenutku t. Očito je LT’ = f +ω. Preostali elementi potrebni za jednoznačno definiranje gibanja komponenti dvostrukog sustava su: zbroj velikih poluosi (a = a1+a2), ekscentricitet (e), trenutak prolaza periastronom (τ) i period ophoda (T).

Skup (a, e, i, ω, Ω, τ, T) čini elemente staza dvostrukog sustava zvijezda. Pri tome su elementi dani za gibanje pratioca u odnosu na glavnu komponentu. U dvostrukom sustavu centar masa ima konstantno vlastito gibanje u odnosu na baricentar Sunčeva sustava, pa je opažanjem promjene položaja svake pojedinačne komponente dvostrukog sustava u odnosu na zvjezdanu pozadinu, moguće odrediti elemente staze za pojedinačnu komponentu.

Koristimo se poznatim relacijama:

a = a1 + a2

M1a1 = M2a2

pri čemu su preostali elementi za pojedinačne komponente jednaki kao i navedeni elementi za relativnu stazu pratioca.

Postavimo pravokutni koordinatni sustav (sl. 8) s ishodištem u glavnoj zvijezdi (A). Neka je x­os u smjeru AE, y­os u smjeru AN i z­os u smjeru AO. Komponente radijus­vektora (r) položaja pratioca u trenutku t, kada je pratilac u točki T, dane su izrazima:

x = r cosα

y = r cosβ

z = r cosγ

gdje je kut α jednak luku T’E, β odgovara luku NT’ i γ je OT’. Kosinusi ovih kutova mogu se naći primjenom poučaka sferne trigonometrije na sferne trokute ET’L, NT’L i OT’L, pa se posljednji izrazi mogu pisati u obliku:

x = r (cos(f + ω) sinΩ + sin(f + ω) cosΩ cosi) (25a)

y = r (cos(f + ω) cosΩ – sin(f + ω) sinΩ cosi) (25b)

z = r sin(f +ω) sini (25c)

dok se radijus­vektor može izraziti pomoću prave anomalije (f) ili ekscentrične anomalije (E):


(26)

Poznavanjem elemenata staza dvostrukog sustava zvijezda, pomoću navedenih izraza može se proračunati prividno gibanje pratioca: pozicijski kut θ i kutna udaljenost ρ, u bilo kojem trenutku t. Postupak je sličan onom koji se primjenjuje za proračun položaja planeta. Poznavanjem perioda ophoda (T), izračunavamo srednje godišnje gibanje (n) pratioca:



pa je srednja anomalija M, za odabrani trenutak τ, dana izrazom:

M=n(t – τ)

pri čemu je t, trenutak prolaza periastronom. Rješavanjem Keplerove jednadžbe:

E = M + e sinE (27)

nalazimo (prema izrazu (26)) radijus­vektor:

r = a(1 ­ e cosE) (28)

a pomoću izraza:


(29)

izračunavamo pravu anomaliju (f).

Izraz za pozicijski kut θ možemo dobiti kombinirajući izraze (24) i (25) . Naime, iz izraza (24) slijedi da je tgθ = x/y, pa ako x i y supstituiramo prema (25a) i (25b) , može se pokazati da vrijedi:

tg(θ ­ Ω) = tg(f + ω)cosi (30)

Radi određivanja kvadranta u kojem leži kut (θ ­ Ω), posljednji je izraz pogodnije pisati u obliku:



pa ovisno o predznacima brojnika i nazivnika nalazimo kvadrant kojem pripada kut (θ ­ Ω). Tako dobivenoj vrijednosti dodajemo vrijednost pozicijskog kuta (W) uzlaznog čvora i konačno nalazimo pozicijski kut θ ­ pratioca. Jednostavniji izraz za izračunavanje kutnog razmaka r možemo dobiti tako da izraz (24a) pomnožimo sa sin ­ Ω, a izraz (24b) s cos Ω. Zbrojimo li tako dobivene izraze, uz supstituciju x i y prema (25a) i (25b) , neposredno slijedi:


(31)

Određivanje elemenata staza dvostrukih sustava iz podataka opažanja provodi se standardnim matematičkim postupcima (spomenimo npr. Thiele­Innesovu metodu za vizualne sustave i Lehmann­Filhesovu metodu za spektroskopske sustave). Opis tih postupaka može se pronaći u odgovarajućoj astronomskoj literaturi. Ovdje ćemo samo kvalitativno prikazati koje se osnovne informacije o dvostrukim sustavima mogu izvesti iz podataka opažanja.

Opažanjima vizualno dvostrukih sustava zvijezda nalazi se skup podataka koji prikazuju vremensku promjenu udaljenosti pratioca i njegova pozicijskog kuta u odnosu na glavnu komponentu (ρ(t), θ(t)). Iz tih podataka moguće je izvesti sve elemente staza dvostrukog sustava. Ako je poznata paralaksa (udaljenost) sustava, tada se može proračunati i vrijednost zbroja velikih poluosi, dok poznavanje položaja centra masa omogućuje određivanje mase svake pojedinačne komponente sustava.

Elementi staza pomrčinskih dvostrukih sustava izvode se iz krivulje sjaja koja prikazuje vremensku promjenu ukupnog sjaja sustava. Naime, ravnina gibanja komponenti malo je priklonjena prema doglednici (i » 90o), tako da se opažaju prividni prolazi jedne komponente preko druge (pomrčine zvijezde zvijezdom). U trenucima pomrčine nastupaju minimumi sjaja čija dubina ovisi o odnosu luminoziteta komponenti. Dublji(primarni) minimumi nastaju kada slabije sjajna komponenta zaklanja onu sjajniju, a kada sjajnija komponenta zamračuje pratioca, opažaju se sekundarni minimumi. Radi li se o potpunoj ili djelomičnoj pomrčini ukazuje nam geometrijski oblik minimuma. Profil oblika slova “V” pripada djelomičnoj pomrčini, dok je profil oblika “U” vezan uz potpunu pomrčinu. Na temelju fotometrijskih praćenja promjene sjaja sustava određuje se omjer luminoziteta komponenti sustava, odnos polumjera zvijezda i velike poluosi sustava (R1/a, R2/a) i inklinacija (i). U većini slučajeva staze komponenti pomrčinskih sustava su kružne. U slučaju eliptičnih staza razmaci sekundarnih minimuma sjaja od susjednih primarnih minimuma nisu jednaki. Posljedica je to veće brzine pratioca u blizini periastrona (kako to opisuje II Keplerov zakon). Analiza krivulje sjaja omogućuje određivanje ekscentriciteta (e).

Posebno je značenje pomrčinskih sustava u tome što krivulja sjaja sadrži brojne druge informacije o komponentama sustava. Kod bliskih dvostrukih sustava, zvijezde su, uslijed plimnih sila, izduljene u pravcu koji spaja središta komponenti. Tako ukupna površina zvijezde koju opaža motritelj nije uvijek jednake veličine. Stoga, u trenucima nastupanja pomrčine, krivulja sjaja nema oštar (pravocrtan) prijelaz prema minimumu, već je glatko zaobljena. Zahvaljujući pomrčinskim sustavima pokazano je da i druge zvijezde pokazuju zatamnjenje ploče, slično kao i Sunce. Naime, intenzitet zračenja nije jednolik po čitavoj Sunčevoj ploči, već opada prema prividnim rubovima. Kod pomrčinskih sustava, čije zvijezde pokazuju zatamnjenje ploče, ova se pojava očituje u nelinearnom opadanja i porastu sjaja za faze pomrčine.

Sl. 9 Na crtežu su dane krivulje sjaja, izgled pomrčina i oblici staza za nekoliko karakterističnih tipova pomrčinski dvostrukih zvijezda. Primarni (dublji) minimumi nastupaju kada slabije sjajna zvijezda prekriva glavnu komponentu sustava. U slučaju djelomične pomrčine, minimumi su oblika slova “V” (što se opaža kod Algola, β Per), dok je u slučaju potpune pomrčine minimum profila poput slova “U” (AR Cas). Kod plimno deformiranih zvijezda krivulja sjaja nema oštre prijelaze (β Lyr). Primijetimo da je u slučaju eliptičnih staza (tip AR Cas) razmak sekundarnog minimuma od susjednih primarnih minimuma različitog iznosa.

Na ukupan sjaj bliskih dvostrukih sustava, tj. na oblik krivulje sjaja, utječe i količina svjetlosti sjajnije komponente koja se reflektira od pratioca. Naime, slabije sjajna komponenta pokazuje “faze” slične Mjesečevim, uslijed čega dolazi i do promjene ukupnog sjaja sustava i u trenucima kada ne nastupaju pomrčine. Kod nekih bliskih dvostrukih sustava opaža se premještanje minimuma, što je posljedica pomaka apsidne linije sustava. U mnogim slučajevima između komponenti dolazi do strujanja materije, formiranja plinovitih ovojnica oko zvijezda te nastajanja raznolikih specifičnih pojava, koje dodatno utječu na oblik krivulje sjaja. Izmjena mase može započeti kada jedna od komponenti dođe u fazu crvenog diva i svojom veličinom prijeđe tzv. Rocheovu plohu. Tada materija započinje prelaziti na pratioca. Često se događa da pratioc, nakon što se njegova masa dovoljno poveća, preuzme ulogu glavne komponente te proces izmjene mase može biti obostran (pratioc predaje masu glavnoj komponenti). Premda su, u ovakvim i sličnim slučajevima, potrebne daleko složenije metode za izračunavanje elemenata staza dvostrukih sustava, prigoda je to za vrijedna astrofizička istraživanja, u kojima su posebno zastupljena raznolika spektroskopska mjerenja. Neki od karakterističnih tipova pomrčinski dvostrukih zvijezda prikazani su na slici 9.

Opažanjima spektroskopski dvostrukih sustava zvijezda nalazimo krivulju radijalnih brzina, tj. ovisnost radijalne brzine o vremenu. U najjednostavnijem slučaju, poput onog prikazanog na slici 4, krivulja radijalnih brzina bila bi sinusoida. Međutim, ako su staze eliptične i ne leže u ravnini doglednice, krivulja radijalnih brzina je nepravilnog oblika (“deformirana” sinusoida). Analizom krivulje sjaja moguće je odrediti samo neke od elemenata staza sustava. Kod jednolinijskih sustava nalazimo skup elemenata (a1sini, e, τ, ω, T), dok je kod dvolinijskih sustava moguće odrediti umnožak velike poluosi i sinusa kuta inklinacije za obje komponente (a1sini, a2sini), te time saznati omjer masa komponenti sustava. Naime, za dvostruki sustav općenito vrijedi:

M1a1 = M2a2 (32)

pa množenjem ovog izraza sa (sin i) dobivamo:


(33)

na temelju čega možemo saznati omjer masa komponenti.

Iz izraza (22b) , supstitucijom M2 iz jednadžbe (32), nalazimo:



(34)

Velika poluos sustava jednaka je zbroju velikih poluosi staza zvijezda:

a = a1 + a2

pa množenjem posljednjeg izraza sa (sini) nalazimo:

a sini = a1 sini + a2 sini

Kako se veličine (a1 sini) i (a2 sini) mogu odrediti opažanjem, na temelju ovog izraza možemo saznati i umnožak (a sini).

Jednadžbu (34) možemo proširiti sa (sin3 i) te napisati u obliku:



(35)

Slično možemo izvesti izraz za veličinu M2 sin3i. Kako se sve veličine na desnoj strani jednadžbe (35) mogu odrediti opažanjem, očito je da za dvolinijske sustave možemo saznati produkte masa svake pojedinačne komponente i treće potencije sinusa kuta inklinacije:

M1sin3i, M2sin3i

Kako iz krivulje radijalnih brzina nije moguće dobiti informaciju o inklinaciji sustava, prisutnost faktora (sin i) na desnoj strani izraza (35) kazuje nam da opažanjem dvolinijskih spektroskopskih zvijezda nije moguće ustanoviti masu zvijezda koje čine sustav. Ipak, određivanje veličina (M1sin3i) i (M2sin3i), ili njihova zbroja (M1 + M2)sin3i, korisno je u statističkim istraživanjima. Opažanjem većeg broja (N) spektroskopskih dvostrukih sustava sličnog spektralnog tipa, nalazi se za svaki promatrani sustav veličina (M1 + M2)sin3i. Uz pretpostavku da su ravnine staza nasumce raspoređene, moguće je izračunati srednju vrijednost veličine (sin3i). Premda je formalna srednja vrijednost 3π/16, u praksi se obično upotrebljava eksperimentalna srednja vrijednost, koja iznosi 2/3. Tada je masa sustava dana izrazom:



Kod jednolinijskih sustava opažanjem se određuje samo (a1sini), pa je time moguće saznati samo vrijednost tzv. funkcije mase. Naime, izraz (32) možemo proširiti tako da svakoj njegovoj strani dodamo veličinu M2a1 . Tada je (uz a = a1 + a2):



što uvrštavanjem u izraz (22b) , daje:




Množenjem lijeve i desne strane dobivenog izraza sa (sin3i), slijedi:




Iznos veličine na lijevoj strani ovog izraza može se odrediti opažanjem, pa time saznajemo i veličinu na desnoj strani posljednjeg izraza, koju nazivamo funkcijom mase za jednolinijske spektroskopski dvostruke zvijezde:




Funkcija mase može se definirati i za astrometrijski dvostruke sustave. Iz izraza (22a) i (32) , uz (23), nalazimo:




Veličine (a1, p, T) određuju se opažanjem periodičkih promjena u vlastitom gibanju vidljive komponente sustava. Sličan postupak primijenio je u 19. stoljeću F. Bessel, kada je pokazao da Sirius ima pratioca koji se u to doba nije mogao opaziti teleskopom. Radi se o bijelom patuljku čije je postojanje kasnije opažački potvrđeno.

Masa pratioca u astrometrijskim dvostrukim sustavima može se odrediti iz funkcije mase, poznavajući vrijednost mase vidljive komponente, koja se obično određuje spektroskopskim metodama (npr. relacijom masa­luminozitet). U nekoliko slučajeva, npr. kod Barnardove zvijezde, mjerenja pokazuju da je pratilac relativno male mase. Pretpostavlja se da bi uz mogućnost puno preciznijih mjerenja (npr. pomoću letjelica), ovim načinom mogli dokazati postojanje drugih planetnih sustava u našem zvjezdanom susjedstvu.

Puno više informacija o zvijezdama koje sačinjavaju dvostruki sustav, možemo dobiti u slučajevima kada opažanjem nalazimo i krivulju sjaja i krivulju radijalnih brzina (tzv. pomrčinsko­spektroskopski dvostruke zvijezde). Iz krivulje sjaja izvodi se, između ostalog, odnos polumjera zvijezda i velike poluosi sustava (R1/a, R2/a) te inklinacija staze (i), što su vrlo korisni podaci kada se dodaju onima izvedenim iz krivulje radijalnih brzina. Tako u slučaju dvolinijskih spektroskopskih dvostrukih zvijezda (poznate su veličine a1sini, a2sini) iz izraza (35) i (33) moguće je izračunati pojedinačnu masu svake komponente sustava. Istodobno, uz poznatu inklinaciju nalazimo iznos velike poluosi (a = a1+a2 ), a iz poznatih omjera (R1/a, R2/a) saznajemo polumjere zvijezda. Dakle, mogu se dobiti podaci o masama i dimenzijama obiju komponenti sustava.

Opsežna proučavanja “klasičnih” dvostrukih zvjezdanih sustava, poput onih koji su ovdje opisani, pružila su veliki broj podataka o masama i dimenzijama zvijezda.