Zvjezdane mase – dvostruki sustavi
Jedan od najznačajnijih zvjezdanih parametara je masa. Posredno određivanje zvjezdanih masa može se provesti relacijom masaluminozitet. Mase nekolicine bijelih patuljaka određene su na temelju gravitacijskog crvenog pomaka njihovih spektara. Ova je pojava predviđena općom teorijom relativnosti. Promjena (δλ=λ-λ0) valne duljine neke spektralne linije (laboratorijske valne duljine λ0) uslijed gravitacijskog pomaka dana je izrazom:
gdje je M, masa tijela, R, njegov polumjer (određuje se spektroskopskim metodama, npr. iz zakona zračenja crnog tijela), G, gravitacijska konstanta i c, brzina svjetlosti. Gravitacijski pomak posljedica je gubitka energije fotona pri napuštanju gravitacijskog polja (uslijed čega se smanjuje njihova frekvencija). Kako je pomak malog iznosa, eksperimentalno je mjerljiv kod objekata koji imaju jaka gravitacijska polja (veliku masu M i relativno mali polumjer R), kao što su bijeli patuljci. Stoga je više značajan kao potvrda teorije opće relativnosti negoli kao praktična metoda za mjerenje zvjezdanih masa. Praktički jedini način za neposredno određivanje masa zvijezda temelji se na analizi dinamike dvostrukih sustava zvijezda. Veliki postotak zvijezda u svemiru čine dvostruki ili višestruki zvjezdani sustavi. Dinamika sustava odvija se u skladu s Newtonovim zakonom gravitacije i Keplerovim zakonima. Godine 1782. William Herschel objavio je katalog dvostrukih sustava zvijezda. Svrha je bila daljnjim opažanjima utvrditi gibanje komponenti i time potvrditi njihovu gravitacijsku povezanost. Za neke sustave to je i potvrđeno opažanjima, dok je u drugim slučajevima pokazano da je blizina zvijezda samo posljedica perspektive opažanja.
Sustavi zvijezda čije se komponente mogu neposredno vidjeti pomoću teleskopa nazivaju se vizualnim sustavima (npr. vizualno dvostruke zvijezde). Optičkim sustavima nazivamo prividno bliske zvijezde. Posljedica su perspektive opažanja (zvijezde nisu u stvarnosti bliske niti gravitacijski povezane). Premda se komponente nekih sustava zvijezda neposredno ne vide niti pomoću teleskopa, njihovo postojanje potvrđuju druge opažačke tehnike. Tako razlikujemo:
- Spektroskopski dvostruke sustave u čijim spektrima opažamo Dopplerov pomak spektralnih linija uslijed relativnog udaljavanja i približavanja komponenti u odnosu na motritelja. U nekim slučajevima opažaju se spektralne linije obje komponente (tzv. dvostrukolinijske spektroskopski dvostruke zvijezde), dok se u slučaju kada je jedna komponenta znatno sjajnija spektralne linije druge zvijezde gube (jednolinijske spektralno dvostruke zvijezda).
- Pomrčinske (fotometrijske) dvostruke zvijezde čine sustavi čija ravnina gibanja zatvara mali kut prema doglednici tako da prividni prolazi jedne komponente preko druge (pomrčine) imaju za posljedicu promjenu ukupnog sjaja sustava.
- Polarimetrijski dvostruki sustavi čija priroda je uočljiva u promjeni polarizacijskih parametara.
- Astrometrijski dvostruki sustavi čije se postojanje može utvrditi jedino opažanjem otklona u vlastitom gibanju vidljive komponente.
Ova klasifikacija temeljena je na opažačkim svojstvima dvostrukih zvijezda. Moguće je da određeni sustav spada u više od navedenih tipova. Vizualno dvostruke sustave čine općenito jako razdvojene zvijezde koje se gibaju relativno sporo, tako da je Dopplerov efekt teško mjerljiv. Nasuprot tome spektroskopski dvostruki sustavi su bliske zvijezde koje se gibaju relativno velikim brzinama. Postoje zvijezde koje se mogu proučavati vizualno i spektroskopskim tehnikama. U slučaju da se ravnina sustava dobro podudara s doglednicom, moguća su i fotometrijska opažanja pomrčina komponenti.
Za prikaz postupka određivanja masa zvijezda poslužit ćemo se najjednostavnijim modelom dvostrukog sustava, čije se komponente gibaju po kružnicama i u ravnini doglednice (sl.4). Dinamičko razmatranje ovog problema slično je postupku određivanja mase planeta iz dinamike gibanja njegovih satelita. Kako su mase satelita puno manje od mase planeta, one se obično zanemaruju (problem jednog tijela). Takva približnost nije moguća kod dvostrukih sustava zvijezda jer zvijezde općenito imaju usporedive mase, što dinamičku analizu svodi na problem dvaju tijela.
Sl. 4 Dvostruki sustav zvijezda čije se komponente gibaju po kružnim stazama oko centra masa (c.m.) i u ravnini doglednice.
Zvijezde masa M i M (sl.4) gibaju se oko njihova centra masa (c.m.) po koncentričnim kružnicama polumjera r1 i r2 , zadržavajući jednaku međusobnu udaljenost:
r = r1 + r2 (11)
Gravitacijska sila između komponenti je:
(12)
Za tijela u stanju revolucije vrijedi:
M1r1 = M2r2 (13)
što je posljedica očuvanja momenta količine gibanja. Kutna brzina (ω=2π/T), kao i period ophoda (T), jednakog su iznosa za obje komponente sustava. Izraz (13) pokazuje da je razmak tijela od centra masa obrnuto razmjeran masama komponenti. Centripetalnu akceleraciju gibanja pojedine zvijezde možemo izjednačiti s akceleracijom gravitacijske sile koja djeluje između komponenti sustava:
(14a)
(14b)
pri čemu brzine možemo izraziti preko perioda ophoda T:
(15a)
(15b)
Zbrajanjem izraza (14a) i (14b) , te uz (15) i (11) , izvodimo izraz:
(16)
koji predstavlja III Keplerov zakon za promatrani sustav dvaju tijela. Za razliku od problema jednog tijela, u izrazu (16) pojavljuje se zbroj masa komponenti sustava. Pomoću navedenih izraza (npr. iz jednadžbi (16) i (13)) moguće je odrediti mase komponenti sustava. Prethodno je opažanjem potrebno izmjeriti udaljenosti r1 i r2 , te period ophoda T. Da bismo odredili uzajamnu udaljenost komponenti sustava (kao i iznose njihovih udaljenosti od centra masa) neophodno je poznavati udaljenost (d) sustava od Zemlje, što se određuje metodom zvjezdane paralakse. Neka je p zvjezdana paralaksa (sl.4), a α najveći prividni kutni razmak komponenti. Kako se radi o malim kutovima, vrijedi:
i
iz čega slijedi:
(17)
Radi jednostavnijeg računa, pretvorit ćemo izraz (16) u oblik u kojem je masa izražena u jedinicama Sunčeve mase, vrijeme u godinama i udaljenost u astronomskim jedinicama (a.j.). Izraz (16) za slučaj gibanja Zemlje (zanemarive mase; M2 » 0) oko Sunca (mase M1 = M0) glasi:
Posljednji izraz vrijedi za problem jednog tijela.
Supstitucijom u izraz (16) , uz R = 1a.j. i T = 1 god., dobivamo:
što uz izraz (17) , daje:
(18)
pri čemu su mase izražene u jedinicama Sunčeve mase, T u godinama, dok se kutevi α i p obično izražavaju u lučnim sekundama. Slično, izraz (13) možemo napisati i u obliku:
M1α1 = M2α2
gdje α1 i α2 predstavljaju kutne udaljenosti komponenti od centra masa, koje se mogu odrediti neposredno iz opažanja.
Primjenu metode određivanja masa zvijezda iz dinamike dvostrukih sustava prikazat ćemo na primjeru zvijezde Sirius. Radi se o vizualnom dvostrukom sustav, razmaknutom za a=7,57″. Period ophoda komponenti iznosi 50 godina. Izmjerena paralaksa Siriusa je 0,371″. Na temelju ovih podataka, iz izraza (18) , nalazimo ukupnu masu sustava, izraženu u jedinicama Sunčeve mase:
M1 + M2 = 3,4
Da bismo odredili masu svake pojedine zvijezde, potrebno je poznavati omjer kutnih udaljenosti α1/ α2 , koji se pojavljuju u izrazu (19). Ovaj podatak nalazi se opažanjem staza zvijezda na nebu (sl. 5). Za slučaj Siriusa i njegovog pratioca spomenuti omjer iznosi približno 2,3 i prema izrazu (19) jednak je omjeru masa komponenata sustava:
Iz posljednje dvije jednadžbe nalazimo:
M2 » 1 M0 i M1 » 2,4 M0
Poznavanjem mase (M) i polumjera R zvijezde određena je i srednja gustoća (r) materije od koje je građena zvijezda:
(20)
Tako je npr. pokazano da Siriusov pratilac ima veliku gustoću i da je građen od degeneriranog plina. Radi se o prvom otkrivenom bijelom patuljku.
Sl. 5 Prividno gibanje vizualnog dvostrukog sustava koje je posljedica vlastitog gibanja. Promjena položaja komponenti uslijed zvjezdane paralakse je zanemarena.
Na temelju opažanja bližih dvostrukih sustava zvijezda empirički je utvrđena korelacija između mase i apsolutne magnitude zvijezda (odnos masaluminozitet). Korelacija je prikazana na slici 6. Koristi se za procjenu masa zvijezda poznatih apsolutnih magnituda.
Sl. 6 Korelacija mase i apsolutne magnitude zvijezda (relacija masaluminozitet). Za zvijezdu poznate apsolutne veličine s ovog grafa možemo očitati pripadnu masu. Ovisnost masaluminozitet vrijedi za zvijezde glavnog niza.
