Dinamički modeli svemira u okvirima Newtonove mehanike
Dinamiku širenja svemira razmotrit ćemo analitički u okvirima klasične Newtonove mehanike. No, bez obzira što ćemo zanemariti predviđanja opće teorije relativnosti, većina dobivenih rezultata bit će u skladu s onima koji slijede iz Einsteinove teorije gravitacije. Pod pojmom širenja svemira podrazumijeva se stalno povećavanje uzajamnih udaljenosti galaktika (odnosno galaktičkih jata). Kozmološko načelo o izotropnosti i homogenosti svemira, kazuje nam da je opažana kinematika širenja svemira (udaljavanje galaktika), jednaka za opažača u bilo kojoj galaktici u svemiru. Stoga dinamiku svemira možemo opisati razmatranjem gibanja galaktika u odnosu na Mliječnu Stazu. Dinamičku analizu značajno pojednostavljuje svojstvo gravitacijske sile, prema kojem je gravitacijska sila u unutrašnjosti šuplje kugle jednaka nuli. Naime, kuglina površina (za koju pretpostavljamo da je homogena), djeluje izvjesnom silom na svaku točku u njenoj unutrašnjosti, ali je ukupna (rezultantna) sila na svaku od unutarnjih točaka jednaka nuli. Na ovo svojstvo gravitacijske sile prvi je ukazao Newton. Ono slijedi i iz Einsteinove teorije gravitacije, što je dokazao matematičar G. D. Birkhoff 1923. godine. Kod razmatranja dinamike širenja svemira možemo odabrati zamišljenu kuglu, čiji je polumjer (r), dovoljno velik da gustoću unutar kugle možemo smatrati jednolikom. Preostali dio svemira predstavlja površinu odabrane kugle. Uvažavajući kozmološko načelo i upravo opisano svojstvo gravitacijske sile, očito je da materija (galaktike) iz preostalog dijela svemira neće imati gravitacijskog utjecaja na galaktike unutar odabrane kugle. štoviše, iz kozmološkog načela slijedi da možemo odabrati bilo koju kuglu u svemiru i na temelju njene dinamike zaključiti od dinamici svemira u cjelini. Dakle, zaključci koje ćemo izvesti iz razmatranja kinematike galaktika u odnosu na motritelja (Mliječnu Stazu), vrijedit će i za svemir u cjelini.
Na galaktiku A (sl.2) na površini odabrane kugle djelovat će konačna gravitacijska sila samo od materije iz kugline unutrašnjosti. Kako je materija raspoređena približno jednoliko (homogenost svemira), na promatranu galaktiku djelovat će rezultantna sila kao da je cjelokupna kuglina masa sažeta u materijalnu točku u kuglinom središtu. Situacija je slična onoj kod izračunavanja druge kozmičke brzine (brzine oslobađanja). Iznos gravitacijske potencijalne energije galaktike na kuglinoj površini dan je izrazom:
(6)
pri čemu je m, masa galaktike, r, njena udaljenost od opažača (kuglin polumjer), M, kuglina masa i G, gravitacijska konstanta. Kinetička energija galaktike dana je izrazom:
(7)
gdje je v, brzina gibanja galaktike u odnosu na motritelja.
Sl. 2 Galaktika A nalazi se u udaljenosti r od motritelja (Mliječne Staze). Na njenu dinamiku utječe samo gravitacijska sila od materije iz unutrašnjosti kugle polumjera r.
U slučaju da je kinetička energija galaktike veća od njene potencijalne energije, gravitacijska sila ne može spriječiti udaljavanje galaktike, koje će se nastaviti u budućnosti. U suprotnom, ako je kinetička energija manja od potencijalne, udaljavanje galaktike će jednom prestati, da bi nakon toga došlo do približavanja galaktike. Granični uvjet (kada je kinetička energija jednaka potencijalnoj) iskazat ćemo preko tzv. kritične gustoće svemira (rc). Masu unutar kugle možemo napisati kao umnožak kugline gustoće i volumena. Za granični slučaj je:
(8)
Brzina galaktike dana je Hubbleovim zakonom:
v = H0r (9)
Izjednačavanjem kinetičke i potencijalne energije (izrazi (7) i (6) ), za granični slučaj dobivamo:
(10)
pa iz posljednja tri izraza ( (8), (9) i (10)) nalazimo:
(11)
Ako je stvarna srednja gustoća svemira (r) manja od kritične (rc), gravitacijska sila neće zaustaviti širenje svemira (promatrana galaktika ima brzinu veću od brzine oslobađanja). U tom je slučaju svemir otvoren. Suprotno, ako je srednja gustoća svemira veća od kritične, svemir se neće zauvijek širiti (zatvoreni svemir).
Kritična gustoća svemira ovisi o vrijednosti Hubbleove konstante. Npr. za vrijednost H0=20km/s*106s.g. slijedi (izraz (11) ), da je kritična gustoća svemira:
rc = 5*10-27kg/m3
Saznanja o stvarnoj srednjoj gustoći svemira zasada su još nepotpuna. Srednja gustoća svjetleće materije, koja se izvodi iz relacije masa luminozitet za galaktike, manja je od 10-27kg/m3, što bi značilo da je svemir otvoren. Međutim, dinamika unutar galaktičkih jata ukazuje na veće galaktičke mase. Pitanje je u kojoj mjeri skrivena (nevidljiva) materija povećava srednju gustoću svemira. Prije nekoliko godina ukazano je na mogućnost da neutrini (i antineutrini) imaju masu mirovanja. Teoretski modeli svemira(teorija Velikog praska), predviđaju velike količine neutrina u svemirskom prostoru (radi se o tzv. fosilnim neutrinima, nastalim u ranom svemiru), ali njihovo postojanje još nije zabilježeno (vjerojatan razlog je što ovi neutrini imaju vrlo malu energiju). Kada bi neutrini imali masu od svega 1/20000 mase elektrona, njihov doprinos ukupnoj srednjoj gustoći svemira bio bi dovoljan da srednja gustoća svemira bude veća od kritične.
Podatak o srednjoj gustoći svemira može se posredno izvesti i iz teorije Velikog praska. Naime, matematičko fizikalni modeli teorije Velikog praska za “ulazne” veličine koriste sadašnju vrijednost Hubbleove konstante, temperature zračenja i srednje gustoće svemira. Na temelju ovih podataka, teoretski se proračunava zastupljenost lakih elemenata u svemiru. Proračuni pokazuju da je zastupljenost deuterija vrlo osjetljiva o srednjoj gustoći svemira. Dakle, mjereći stvarnu gustoću deuterija, moguće je dobiti informaciju o srednjoj gustoći svemira. Eksperimentalna određivanja zastupljenosti deuterija u međuzvjezdanim molekularnim oblacima i teoretska procjena količina deuterija “zarobljenog” zvijezdama, ukazuju da je srednja gustoća svemira najvjerojatnije manja od kritične.
Bez obzira kakav je svemir (otvoren ili zatvoren), gravitacijsko djelovanje ima za posljedicu usporavanje širenja. Stoga su brzine galaktika u ranijim trenucima razvoja svemira bile veće nego danas. Zbog konačnosti i konstantnosti brzine svjetlosti, što je galaktika udaljenija opažamo je u sve ranijim trenucima razvoja svemira (svjetlost galaktike koju opažamo napustila je galaktiku prije onoliko vremena koliko je potrebno svjetlosti da dođe do nas). Zbog usporavanja širenja svemira i činjenice da udaljenije objekte vidimo u ranijim trenucima razvoja svemira, omjer brzine udaljavanja i udaljenosti za udaljenije će objekti biti veći nego za one koji su nam bliži. Dakle, Hubbleova konstanta mijenja se vremenom, pri čemu brzina njene promjene ovisi o veličini usporavanja širenja svemira. Sila koja usporava gibanje galaktike u udaljenosti r, posljedica je gravitacijskog djelovanja mase sadržane u kugli polumjera r. Stoga deceleracija (a0) galaktike slijedi iz izraza:
i može se napisati u obliku:
(12)
pri čemu je r srednja gustoća svemira. Deceleracija je jednaka promjeni brzine u vremenu i negativna je:
(13)
Izraz za promjenu Hubbleove konstante tijekom vremena, nalazimo iz Hubbleova zakona (izraz (9)):
(14)
Kako je Dr/Dt = v, a v = H0r, izraz (14)možemo napisati u obliku:
Koristeći izraz (11) za kritičnu gustoću svemira, posljednji izraz prelazi u:
(15)
Drugi član na desnoj strani jednadžbe (15) naziva se parametrom usporavanja (deceleracije):
(16)
i prema izrazu (12) , on je jednak:
(17)
Parametar usporavanja uvijek je pozitivan (q0>0) jer je a0<0. U slučaju otvorenog modela svemira (r0>r0) je q0>1/2, dok je za zatvoreni model svemira q0<1/2. Jednadžba (15) napisana je za sadašnju vrijednost Hubbleove konstante, H(t0) = H0. Za općenito vrijeme t, izraz (15) glasi:
(18)
Parametar usporavanja q0 može se odrediti iz nagiba krivulje koja prikazuje brzinu udaljavanja i udaljenost dalekih galaktika i kvazara (radi se zapravo o stvarnom obliku Hubbleova zakona). Zbog usporavanja širenja svemira krivulja se za udaljenije objekte “uzdiže”; u sve ranijim trenucima razvoja svemira Hubbleova konstanta je imala sve veću vrijednost (H(t) > H0 za t < t0 ), a slično se ponašao i parametar usporavanja (q>q0). Na slici 3. prikazano je nekoliko krivulja u ovisnosti o odabranim vrijednostima parametra usporavanja (q0). Kada bismo pouzdano odredili udaljenosti dalekih galaktika i kvazara i njihove pripadne brzine udaljavanja, tada bi usporedbom dobivenih rezultata s krivuljama poput onih prikazanih na slici 3., lako odredili parametar usporavanja q0 i tako saznali je li svemir otvoren ili zatvoren. Već ranije je naglašeno da su mjerenja udaljenosti vrlo dalekih objekata vrlo složena i nepouzdana. Jedan od razloga su moguće promjene luminoziteta pojedinog tipa objekta tijekom njegove evolucije. Statističke analize velikog broja mjerenja udaljenosti i brzina udaljavanja galaktika i kvazara ukazuju da je vrijednost parametra usporavanja najvjerojatnije veća od 1/2, što bi značilo da je svemir otvoren.
Sl. 3. Ovisnost brzine udaljavanja (v) i udaljenosti(r) za nekoliko odabranih vrijednosti parametra usporavanja (q0).
Razmotrimo na kraju tri karakteristična dinamička modela svemira: otvoreni svemir, Einstein de Sitterov model i zatvoreni svemir (sl.4). Promatrat ćemo dinamiku galaktike mase m u dva kozmološka trenutka: sadašnjem vremenu t0 i u nekom budućem vremenu t. Uslijed očuvanja ukupne energije vrijedi:
(19)
pri čemu su veličine v0 i r0 dane za trenutak t0, dok se veličine v i r odnose na trenutak t. Koristeći se izrazom za Hubbleov zakon očito je v0 = H0r0, dok je
Tako iz jednadžbe (19) dobivamo jednadžbu gibanja:
(20)
pri čemu je rc = 3H02/8pG, kritična gustoća svemira.
Egzaktno rješenje jednadžbe (20) nalazi se pomoću diferencijalnog računa. Kako je v = dr/dt, jednadžba 3(20) svodi se na oblik:
(21)
Primjera radi, uz supstituciju x= r/r0, lako se može pokazati da je sadašnja starost svemira t0, dana izrazom:
(22)
Uslijed usporavanja širenja svemira, stvarna je starost svemira manja od Hubbleova vremena (integral u izrazu (22) uvijek je manji od jedinice). Odredimo li nekim drugim metodama (npr. teorijom zvjezdane evolucije ili pomoću zakona radioaktivnih raspada) sadašnju starost svemira (t0), tada je pomoću izraza (22), uz poznatu vrijednost Hubbleove konstante, moguće odrediti srednju gustoću svemira (r0). Pri tome je najveća poteškoća pouzdano odrediti sadašnju starost svemira, koja se uz to ne mijenja značajno u ovisnosti o srednjoj gustoći svemira. Općenito možemo zaključiti da postoje mnoge metode nalaženja srednje gustoće svemira o kojoj ovisi konačna sudbina svemira. No, zbog nepouzdanosti eksperimentalnih podataka vrlo je teško donijeti konačan zaključak.
Za zadanu vrijednost srednje gustoće r0, dinamički modeli svemira neposredno se mogu izvesti rješavanjem diferencijalne jednadžbe (21). Radi jednostavnosti, analitički ćemo opisati tri karakteristična slučaja dinamičkih modela svemira.
a) Otvoreni svemir (r0 < rc , odnosno q < 1/2) u slučaju kada je srednja gustoća svemira puno manja od kritične
Uz pretpostavku r0 / rc « 1, slijedi:
tako da jednadžba (20) prelazi u jednostavni oblik:
v » H0r0 (23)
Sadašnju starost svemira u ovom je slučaju približno jednaka Hubbleovom vremenu:
t0 » H0-1 (23a)
b) Einstein de Sitterov model (r0 = rc, odnosno q0 = 1/2)
U ovom se slučaju izraz (20) svodi na jednadžbu:
čije rješenje, (koje se nalazi diferencijalnim računom), glasi:
Tako za sadašnju starost svemira(t = t 0) iz posljednje jednadžbe dobivamo:
(24)
c) Zatvoreni svemir (r0 > rc, odnosno q0 > 1/2)
U slučaju zatvorenog modela svemira, širenje će trajati ograničeno vrijeme tm, za m koje će promatrana galaktika dostići najveću udaljenost (r = rm). Nakon toga započelo bi sažimanje svemira i njegova konačna kontrakcija dogodila bi se nakon što protekne vrijeme 2tm od početka širenja. Zamislimo da se opet dogodi veliki prasak i da svemir nastavi oscilirati s jednakim periodom (pretpostavljamo da pri sažimanju i ponovnoj “eksploziji” ne dolazi do promjene entropije svemira). U ovom modelu gibanje galaktika možemo prikazati sinusnom funkcijom:
r(t) = rm sinwt (25)
pri čemu je w = 2p/T, gdje je T period osciliranja i iznosi T = 4tm.
Brzina gibanja galaktika je:
v(t) = v coswt = rw coswt (26)
Kvadriranjem jednadžbi (25) i (26), a zatim njihovim zbrajanjem nalazimo:
v2 + r2w2 = w2rm2 (27)
Kada je r = r0, tada je v = H0r0 (što slijedi iz (20)). Istodobno, izraz (27) prelazi u:
(28)
Za r = rm, brzina je jednaka nuli (v = 0), pa prema (20) dobivamo:
(29)
Iz navedenih izraza moguće je izračunati period osciliranja svemira za zadanu vrijednost srednje gustoće r0.
Primjera radi, ako je r0= 2rc, tada prema (29) nalazimo rm /r0 = 2, što uvršteno u (28) daje:
(30)
Tada period T iznosi:
dok je vrijeme ekspanzije:
Sadašnja starost svemira, u zatvorenom modelu za koji je r0 = 2rc , može se izračunati pomoću izraza (25). Za t = t0 dobivamo:
r0 = rm sinwt
odakle slijedi:
Tada je:
pa uz izraz (30), slijedi:
(31)
Primijetimo da se dobiveni rezultati za sadašnju starost svemira, u sva tri razmatrana modela (izrazi (23a), (24) i (31)), uzajamno malo razlikuju. Stoga je vrlo teško predvidjeti dinamiku svemira iz procjena njegove sadašnje starosti.
Sl. 4. Razmak galaktika (r) u ovisnosti o vremenu (t) u slučaju: otvorenog svemira (a), Einstein de Sitterova svemira (b) i zatvorenog svemira (c).
