Newtonovi zakoni kao posljedica Keplerovih
Drugi Keplerov zakon može se izreći i kao nepromijenjenost površinske brzine planeta: omjer površine koju prijeđe radijusvektor i pripadnog vremena Δt je konstantan. Promatramo li mali vremenski interval pri pomaku Zemlje (tj. planeta) iz položaja 1 u položaj 2 (sl.3.21), luk 12 možemo zamijeniti malom duljinom Δl, a prijeđenu površinu trokutom površine ΔA. Površina trokuta jednaka je:
dok je pripadna površinska brzina dana izrazom:
gdje je vn komponenta brzine okomita na radijusvektor r. Kako je prema drugom Keplerovom zakonu površinska brzina konstantna, proizlazi da je:
rvn = konst.
Sl.3.21
Pomnožimo li ovu jednadžbu s masom (m) planeta, slijedi da je moment količine gibanja planeta konstantan:
mrvn = konst. (3.5)
Dakle, drugi se Keplerov zakon može iskazati i preko zakona o očuvanju momenta količine gibanja u sustavu Sunce – planet.
Prema trećem Keplerovom zakonu je:
gdje je K konstanta. Dakle, vrijeme ophoda udaljenijih planeta oko Sunca je sve duže. Planeti bliži Suncu brže se gibaju. Razumno je stoga pretpostaviti da sila između Sunca i planeta opada s povećanjem njihovih uzajamnih udaljenosti. Planet koji se giba oko Sunca s periodom T i u udaljenosti r, ima centripetalnu akceleraciju:
a centripetalna sila na planet je:
F = ma =(4π2rm)/T2
gdje je m masa planeta.
Ako supstituiramo period T, koristeći se trećim Keplerovim zakonom, slijedi:
Iz izraza zaključujemo da je sila na planet obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti planeta od Sunca. Konstanta 4π2Ks odnosi se na Sunčev sustav, dok za neki drugi sustav, npr. Zemlja – Mjesec, ta konstanta poprima drugu vrijednost (4π2Kz), pa privlačna sila između Zemlje i Mjeseca iznosi:
Pretpostavimo li da se ovaj izraz za silu može primijeniti na bilo koja dva tijela, a budući da je gravitacijsko privlačenje svojstvo svih tijela, može se pretpostaviti da konstanta u posljednjim izrazima zavisi od mase jednog tijela, odnosno da je proporcionalna s masom:
4π2Kz = Gmz za Zemlju,
4π 2Ks = Gms za Sunce,
pri čemu je G konstanta proporcionalnosti. Tako je općenito gravitacijska sila, kojom masa m1 privlači masu m2 , jednaka:
a po zakonu akcije i reakcije, masa m2 privlači masu m1 silom:
(3.6)
što predstavlja Newtonov zakon opće gravitacije. Konstanta G je gravitacijska konstanta i kako smo kazali, određena je eksperimentalno. Ovime smo zapravo pokazali kako iz trećeg Keplerova zakona slijedi Newtonov zakon gravitacije. Razmotrimo i obratnu situaciju.
Treći Keplerov zakon kao posljedica Newtonova zakona gravitacije
Planeti se oko Sunca gibaju pod utjecajem gravitacijske sile:
gdje je Ms masa Sunca i m masa promatranog planeta. Prema drugom Newtonovom aksiomu mehanike, sila koja djeluje na neko tijelo proporcionalna je masi i akceleraciji tijela:
F = ma
Izjednačavanjem ovih dvaju izraza slijedi izraz za akceleraciju pri gibanju planeta oko Sunca:
(3.7)
Pretpostavimo da se planeti oko Sunca gibaju po kružnicama konstantnom brzinom:
pri čemu je T period ophoda planeta. Premda je iznos brzine pri jednolikom gibanju po kružnici konstantan, potrebito je naglasiti da se radi o akceleriranom gibanju. Naime, brzina se ne mijenja po iznosu, ali se mijenja po smjeru. Akceleracija tijela pri jednolikom gibanju po kružnici je konstantna i usmjerena prema središtu kružnice (centripetalna akceleracija). Dana je izrazom:
ili (nakon što supstituiramo brzinu iz prethodnog izraza):
Izjednačimo li dobiveni izraz za akceleraciju s izrazom (3.7) koji slijedi iz zakona gravitacije, dobivamo:
Veličina na desnoj strani posljednjeg izraza konstantna je za sve planete Sunčeva sustava pa je, prema tome, i omjer kubova udaljenosti planeta od Sunca i kvadrata njihovih ophodnih vremena jednak za sve planete, što upravo iskazuje treći Keplerov zakon. Jasno, ovaj zakon vrijedi i kod bilo kojeg drugog sustava (npr. Jupiterovi sateliti). Newton je i eksperimentalno provjerio svoj zakon, razmatrajući akceleraciju u gibanju Mjeseca oko Zemlje i uspoređujući je s akceleracijom Zemljine sile teže u Mjesečevoj udaljenosti.
Radi jednostavnosti matematičkog pristupa, u izrazima je pretpostavljeno da je masa središnjeg tijela sustava neizmjerno veća od mase satelita. Ako se radi o tijelima usporedivih masa, izraz za treći Keplerov zakon poprima nešto izmijenjen oblik. Također, pretpostavljali smo da su staze planeta kružnice, tako da se neposredno ne uočava veza Newtonova zakona gravitacije i prvog Keplerova zakona. Ipak, pokazat ćemo da su staze tijela u gravitacijskom polju, elipse. štoviše, može se raditi i o parabolama ili hiperbolama. Jasno, kružnu stazu možemo smatrati posebnim slučajem elipse. Da bismo olakšali daljnja razmatranja, dat ćemo pregled osnovnih znanja iz analitičke geometrije o krivuljama: elipsi, paraboli i hiperboli.
