Gibanja svemirskih letjelica – brzina kruženja i oslobađanja, određivanje mase Sunca i planeta
U posljednjih nekoliko desetljeća uspješno se provode istraživanja svemirskih tijela uz pomoć letjelica. Zahvaljujući dostignućima astronautike ljudi su posjetili Mjesec, a gotovo svi planeti i druga tijela Sunčeva sustava ispitana su iz neposredne blizine pomoću automatiziranih svemirskih sondi. Istodobno, mnogi umjetni sateliti kruže oko našeg planeta i služe za znanstvene, komunikacijske ili neke druge svrhe.
Upravljanje svemirskim letjelicama nije jednostavno. Pored toga što one imaju vlastiti pogon, za njihovo usmjeravanje koriste se često i gravitacijska polja svemirskih tijela.
Razmotrimo koja je brzina potrebna da bi svemirska letjelica postala satelitom nekog nebeskog tijela (brzina kruženja), a koja da bi letjelica napustila gravitacijsko polje nekog tijela (brzina oslobađanja). Jednostavni izvodi izraza za brzinu kruženja i brzinu oslobađanja mogu nam poslužiti za određivanje masa planeta i Sunca.
Brzina kruženja
Zamislimo tijelo mase m koje kruži oko drugog tijela mase M (npr. satelit koji obilazi Zemlju). Iz kinematike je poznato da na tijelo u stanju kružnog gibanja djeluje centripetalna sila, koja je u ovom slučaju posljedica gravitacijskog privlačenja:
(2.1)
pri čemu je G gravitacijska konstanta, a r udaljenost među tijelima (u slučaju satelita koji se nalazi na visini h iznad svemirskog tijela polumjera R, udaljenost u izrazu (2.1) je r=R+h). Iz izraza (2.1) za brzinu kruženja nalazimo:
Na temelju ovog izraza možemo izračunati kolika je brzina potrebna da bi neko tijelo kružilo u određenoj udaljenosti od planeta ili zvijezde, dakle da bi bilo satelitom određenog nebeskog tijela. Primijetimo da nam izraz (2.1) omogućuje određivanje mase M planeta na temelju podataka o brzini kruženja i udaljenosti nekog njegovog satelita. Slično se može izračunati masa Sunca na temelju podataka o gibanju planeta. Napomenimo da se ovaj postupak koristi u slučaju kada je masa satelita zanemariva u odnosu na planetnu masu.
Za slobodan zadatak izračunajmo brzine kruženja letjelica u gravitacijskom polju pojedinih planeta Sunčeva sustava. Proizvoljno odaberimo visinu letjelice iznad površine planeta.
Poznato je da su položaji telekomunikacijskih satelita obično statični u odnosu na opažača na Zemlji. Dakle, oni kruže oko Zemlje jednakom brzinom kao što naš planet rotira (tzv. geostacionarni sateliti). Na temelju toga odredite približne visine na kojima se oni nalaze. Izračunajte visine stacionarnih satelita i za druge planete Sunčeva sustava.
Na temelju podataka o Zemljinoj udaljenosti i periodu ophoda oko Sunca, izračunajte masu Sunca. Jednakim postupkom procijenite planetne mase na temelju podataka o udaljenostima i ophodnim vremenima planetnih satelita.
Brzina oslobađanja
Da bismo izračunali brzinu oslobađanja koja je potrebna da bi neka letjelica mase m napustila gravitacijsko polje svemirskog tijela mase M, potrebno je upoznati se s pojmom potencijalne energije tijela u gravitacijskom polju. Potencijalna energija tijela mase m koje se nalazi u gravitacijskom polju tijela mase M u udaljenosti r od njegova središta, dana je izrazom:
Do ovog izraza lako se dolazi ako izračunamo rad koji je potreban da bismo premjestili tijelo mase m u gravitacijskom polju (tijela mase M). Naime, rad se izračunava kao produkt sile (ovdje je to gravitacijska sila) i pripadnog puta (odgovara promjeni udaljenosti tijela). Jedini je problem u tom računu što se gravitacijska sila mijenja na tom putu, pa je potrebno upotrijebiti diferencijalni račun, a do rezultata se može doći i elementarnom matematikom, zamijenimo li gravitacijsku silu na tom putu, njenom srednjom geometrijskom vrijednosti. Negativni predznak ukazuje nam da se potencijalna energija povećava s povećanjem udaljenosti. Naime, da bismo tijelo premjestili u veću udaljenost potrebno je uložiti rad – dakle, potencijalna energija tijela se povećava.
Kinetička energija koju je potrebno uložiti da bismo tijelo premjestili iz udaljenosti r1 u udaljenost r2 odgovarat će promjeni potencijalne energije tijela:
Na temelju ovog izraza možemo izračunati brzinu koja je potrebna da bismo tijelo mase m premjestili iz udaljenosti r1 u udaljenost r2 u gravitacijskom polju tijela mase M. Premještamo li tijelo u beskonačnost (r2 → ∞) desni član u jednadžbi (2.4) jednak je nuli i tada za brzinu oslobađanja nalazimo:
Za slobodan zadatak izračunajmo kolika je brzina potrebna da bi letjelicu koja kruži na visini 10 000 km iznad površine Zemlje premjestili na stazu u udaljenosti 50 000 km iznad površine Zemlje.
Izračunajmo brzinu oslobađanja za planete Sunčeva sustava i neke njihove satelite. Pretpostavite da se letjelica nalazi na njihovoj površini. Na temelju dobivenih rezultata komentirajte zašto neka tijela Sunčeva sustava nisu uspjela zadržati atmosferu (uputa: srednja kinetička energija gibanja čestica plina dana je izrazom 3/2kT, gdje je k Boltzmannova konstanta k = 1,38.10-23 J/K, a T temperatura plina).
Kolika je brzina oslobađanja za letjelicu koja napušta Sunčev sustav?
Zamislite ovakav događaj. Asteroid koji se giba iz smjera Sunca udara u Zemlju brzinom 40 km/s okomito na smjer njena gibanja oko Sunca. Kolika bi trebala biti masa asteroida da bi se Zemljina udaljenost od Sunca povećala za 10%, ako 70% udarne energije prelazi u kinetičku energiju Zemljina pomaka.
Izračunajte brzinu kruženja Zemlje oko Sunca. Poznavajući udaljenost Zemlje od Sunca izračunajte koju bi brzinu trebala imati letjelica lansirana sa Zemlje da bi napustila Sunčev sustav. Napomena: prvo izračunajte brzinu oslobađanja nekog tijela u gravitacijskom polju Sunca i koje se nalazi 1 astronomsku jedinicu daleko od Sunca (tzv. treća kozmička brzina). Komentirajte kolika je najmanja potrebna brzina da bi letjelica napustila gravitacijsko polje Sunca u slučaju da je lansiramo u smjeru Zemljina gibanja oko Sunca (dakle, koristimo činjenicu da letjelica prije lansiranja ima komponentu brzine Zemljina gibanja oko Sunca).
Plimna sila
U sustavima dvaju tijela koja se s obzirom na svoje dimenzije nalaze relativno blizu, gravitacijsko djelovanje može se očitovati u pojavi plima i oseka, kao što je to npr. u sustavu Zemlja-Mjesec. Razmotrimo gravitacijsko djelovanje tijela relativno velike mase M u točkama A i B (sl.3.1) nekog drugog svemirskog tijela (npr. gravitacijsko djelovanje Mjeseca na naš planet). Gravitacijska sila u točki A veća je o gravitacijske sile u točki B. Ako je gravitacijska sila tijela mase M velika (dakle, ako udaljenost r centra masa tijela nije puno veća od polumjera R – bliski sustavi tijela), razlika gravitacijskog djelovanja u točkama A i B imat će za posljedicu rastezanje tijela. Naime, razlika gravitacijskog privlačenja u točkama A i B je:
pri čemu smo pretpostavili da se u točkama A i B nalazi tijelo mase m. Svođenjem na zajednički nazivnik, izraz (3.1) prelazi u oblik:
pa kako je obično veličina r ipak puno veća od polumjera R, član R u nazivniku možemo zanemariti, tako da posljednji izraz prelazi u:
Izraz (3.2) opisuje tzv. plimnu silu.
Slika 3.1 Uz izvod izraza za plimnu silu.
Prokomentirajte kako plimna sila ovisi o udaljenosti tijela u sustavu a kako o veličini tijela.
Drukčiji način izvoda izraza za plimnu silu, kao i detaljniji opis nekih njenih posljedica, može se pronaći u tekstu dinamika sustava Sunce-Zemlja-Mjesec.