Istraživanje gravitacijskog polja Zemlje i drugih nebeskih tijela
Gravitacijskim poljem nazivamo prostor oko nekog tijela u kojem se očituje djelovanje gravitacijske sile tog tijela. Gravitacijsku silu možemo opisati (u pojednostavljenom obliku koji općenito daje zadovoljavajuće rezultate za slaba gravitacijska polja) poznatim Newtonovim zakonom gravitacije. Prema Newtonovom zakonu gravitacijska sila F kojom se privlače dvije materijalne čestice masa m1 i m2 i koje se nalaze na uzajamnoj udaljenosti r, dana je izrazom:
(1.1)
gdje je G gravitacijska konstanta i iznosi 6,672.10-11 m3kg-1s-2. Može se pokazati da je gravitacijsko polje homogene kugle (ili kugle čija gustoća ovisi samo o udaljenosti od njena središta) ekvivalentno gravitacijskom polju materijalne točke čija je masa jednaka masi kugle i za koju zamišljamo da je smještena u središtu kugle. Kako su svemirska tijela najčešæe oblika kugle i najčešće im gustoća ovisi samo o udaljenosti od njihova središta, njihovo gravitacijsko djelovanje može se opisati izrazom (1.1). Čak i tijela koja nisu kružnog oblika (npr. kometi ili asteroidi) na većim udaljenostima ponašaju se poput materijalnih točaka. Primijeniti ćemo sada Newtonov zakon, izraz (1.1), na neke konkretne probleme u istraživanju gravitacijskih polja nebeskih tijela.
Akceleracija gravitacijske sile na površini planeta i u okolnom prostoru
Newtonov zakon gravitacije omogućuje nam da odredimo akceleraciju gravitacijske sile planeta u bilo kojoj udaljenosti od njegova središta. Na slici 1.1 prikazan je planet mase M , polumjera R i neko tijelo mase m koje se nalazi u visini h iznad površine planeta, dakle u udaljenosti R + h od središta planeta. Izjednaèimo gravitacijsku silu kojom planet djeluje na tijelo mase m s težinom tijela mase m (težina tijela jednaka je umnošku mase tijela i akceleracije sile teže u udaljenosti u kojoj se nalazi to tijelo):
(Uočimo da na temelju ovog izraza možemo izračunati Zemljinu masu iz vrijednosti akceleracije Zemljine gravitacijske sile na njenoj površini i njena polumjera R. Provedite račun!).
Iz ovog izraza nalazimo da je vrijednost akceleracije sile teže u visini h iznad površine planeta jednaka:
(1.2)
Slika 1.1 Akceleracija gravitacijske sile planeta (mase M i polumjera R) u visini h iznad njegove površine može se izraèunati razmatranjem gravitacijskog utjecaja planeta na zamišljeno tijelo mase m koje se nalazi u udaljenosti R + h od središta planeta.
Tako je npr. u visini 1000 km iznad površine Zemlje (masa Zemlje je 5,9742.1024kg a polumjer 6,378.106m) akceleracija gravitacijske sile jednaka 7,32 ms-2 (što je 75% od vrijednosti akceleracije gravitacijske sile na površini Zemlje). Lako se može pokazati da u visini 2642 km od površine Zemlje, akceleracija gravitacijske sile poprima dva puta manji iznos od one na Zemljinoj površini. Izraz (1.2) omogućuje nam da izračunamo i vrijednost akceleracije sile teže drugih nebeskih tijela. Razmotrimo primjer planeta Marsa. Marsov polumjer je 3,393.106m a masa 6,420.1023kg, pa za akceleraciju gravitacijske sile na površini Marsa dobivamo vrijednost od 3,72ms-2 što je približno 38% od vrijednosti akceleracije sile teže na površini našeg planeta.
Za slobodan zadatak proračunajmo vrijednosti akceleracije gravitacijske sile na površini tijela Sunčeva sustava. Usporedimo rezultate. Podatke o masi i polumjeru tijela Sunčeva sustava možemo pronaći u – opći podaci o planetnom sustavu.
Odredimo točku u prostoru u kojoj gravitacijsko polje između dvaju tijela iščezava
Razmotrimo privlačenje Zemlje (Z) i Mjeseca (M), čija se središta nalaze na udaljenosti r (slika 1.2). Neka se neko zamišljeno tijelo mase m nalazi upravo u onoj udaljenosti x od središta Zemlje u kojoj se gravitacijska privlačenja Zemlje i Mjeseca izjednačuju. Kolika je ta udaljenost saznat ćemo izjednačimo li gravitacijsku silu kojom Zemlja mase MZ privlači tijelo mase m i gravitacijsku silu kojom Mjesec mase MM privlači tijelo mase m. Udaljenost tijela mase m od središta Mjeseca iznosi r – x, pa primjenom Newtonovog zakona gravitacije dobivamo sljedeću jednadžbu:
iz koje za udaljenost x nalazimo izraz:
(1.3)
Slika 1.2 U udaljenosti x od središta Zemlje (Z) izjednačuje se gravitacijska sila Mjeseca (M) i Zemlje. Središta Zemlje i Mjeseca nalaze se na uzajamnoj udaljenosti r.
Omjer Mjesečeve i Zemljine mase je približno 1/81, dok je srednja udaljenost Zemlje i Mjeseca r = 384 000 km. Tako iz posljednjeg izraza (1.3) lako možemo izračunati da se Zemljino i Mjesečevo gravitacijsko privlačenje izjednačuju u udaljenosti x = 345 600 km od središta Zemlje. Izvedeni izraz vrijedi općenito, pa tako i kod privlačenja Sunca i Zemlje. Kako je Sunce 332 948 puta veće mase od mase Zemlje, a srednja udaljenost Sunca i Zemlje iznosi 149 600 000 km, nalazimo da se gravitacijsko privlačenje Zemlje i Sunca poništavaju u udaljenosti 258 816 km od središta našeg planeta.
Za slobodan zadatak odredimo točke u kojima se poništavaju gravitacijska polja između planeta i njihovih satelita.
Gravitacijsko polje i vrtnja planeta
Gravitacijsko privlačenje planeta može biti izmijenjeno uslijed vrtnje (rotacije) planeta. Naime, uslijed vrtnje planeta, na svaki dio mase m planeta koji se giba obodnom brzinom v po kružnoj stazi oko osi rotacije, djeluje centrifugalna sila:
(1.4)
gdje je m promatrana masa, a r udaljenost od osi rotacije.
Lako se može pokazati da posljednji izraz možemo napisati i u obliku:
(1.5)
pri čemu smo obodnu brzinu izrazili preko perioda T vrtnje planeta (v=2rp/T), a udaljenost r od osi vrtnje preko polumjera R i planetografske širine (r = Rcos).
Općenito je iznos centrifugalne sile u odnosu na gravitacijsku zanemariv. Međutim, njena vertikalna komponenta Fv = Fc cos (slika 1.3) doprinosi smanjenju gravitacijske sile privlačenja, dok horizontalna komponenta Fh djeluje prema ekvatoru i njena posljedica može biti spljoštenost planeta. Spljoštenost f se definira kao omjer između razlike ekvatorskog i polarnog polumjera te samog ekvatorskog polumjera. Primjera radi, spljoštenost Zemlje iznosi 0,00335281. Zemljin ekvatorski polumjer iznosi 6,378140.106m, pa je prema tome polarni polumjer za oko 21km kraći od ekvatorskog (provjerite!).
Dakle, nalazimo li se na površini rotirajućeg planeta ukupno privlačenje bit će rezultanta gravitacijskog privlačenja i doprinosa centrifugalne sile. Rezultanta gravitacijske i centrifugalne sile kojom Zemlja djeluje na neko tijelo obično se naziva sila teža. Sila teža poprima najmanji iznos na ekvatoru a najveći na polu. Tome ne doprinosi samo centrifugalna sila već i spljoštenost planeta. Zanemarimo li spljošten oblik planeta, lako se može pokazati da je akceleracija sile teže u planetografskoj širini jednaka:
(1.6)
gdje prvi član na desnoj strani izraza (1.6) predstavlja akceleraciju sile teže na polu.
Slika 1.3 Centrifugalna sila Fc i njene komponente (vertikalna i horizontalna)
Izvođenje izraza koji uzima u obzir spljošten oblik rasporeda mase planeta znatno je složeniji. Ovdje navodimo jedan od izraza (A.C. Clairaut, 1743.g.):
(1.7)
gdje je g0 akceleracija sile teže na ekvatoru.
Na temelju ovog izraza moguće je iz mjerenja akceleracije sile teže u mjestima na različitoj geografskoj širini odrediti spljoštenost Zemlje. Akceleracija sile teže eksperimentalno se može odrediti pomoću njihala. Primjera radi, period matematičkog njihala dan je izrazom:
(1.8)
gdje je l duljina niti njihala.
Spomenimo da naš planet nije homogen i da ima raznolik reljef. Stoga je polje sile teže znatno složenije. Odabrana ekvipotencijalna ploha sile teže definira nepravilno geometrijsko tijelo tzv. geoid, kojeg možemo smatrati stvarnim Zemljinim oblikom.
Istraživanja gravitacijskog polja Zemlje, Mjeseca i drugih tijela Sunčeva sustava u posljednje vrijeme dopunjuju se zahvaljujući istraživanjima uz pomoć letjelica.
Za slobodan zadatak izračunajte vrijednost centrifugalne akceleracije za svoju geografsku širinu. Odredite vertikalnu i tangencijalnu komponentu centrifugalne sile. Komentirajte (kvalitativno i kvantitativno) kako centrifugalna sila doprinosi iznosu sile teže za s obzirom na geografsku širinu mjesta.
Opišite postupak određivanja Zemljine spljoštenosti primjenom Clairautova izraza. Pomoću istog izraza izračunajte vrijednost akceleracije sile na vašoj geografskoj širini te na polu (vrijednost akceleracije sile teže na ekvatoru iznosi 9,7805 m/s2). Izračunajte period matematičkog njihala duljine niti 10m u istim geografskim širinama. Komentirajte kolika je potrebna točnost u određivanju akceleracije sile teže da bismo njihalom duljine niti 10m mogli eksperimentalno odrediti Zemljinu spljoštenost. Kakvi su zahtjevi na točnost mjerenja upotrijebimo li njihalo duljine niti 1m.
Provedite slične račune za neke druge planete Sunčeva sustava! Komentirajte.
