Problem dvaju tijela, Keplerova jednadžba, jednadžba centra – razmatranje primjenom diferencijalnog računa.

Priredila: Ivana Matić, prof.

OSNOVNE JEDNADŽBE

Gravitacijski problem dvaju tijela temelj je nebeske mehanike. Primjenjuje se kod gibanja planeta oko Sunca, gibanja satelita, te dvostrukih zvijezda. Ideju rješavanja tog problema usmjerit ćemo na sustav koji uključuje Sunce S i planet P, kao što vidimo na slici 1.

Slika 1

Analiza koja slijedi prilično je općenita i može biti primijenjena na bilo koji sustav dvaju tijela. Budući da je diskusija ograničena na dva tijela moguće je naći egzaktno rješenje. Nažalost, ne postoji takvo analitičko rješenje za sustav koji sadrži više od dva tijela. Dakle, način gibanja planeta je idealiziran, jer gravitacijsko pivlačenje ostalih tijela u Sunčevom sustavu, osobito drugih većih planeta nije uključeno. Budući je Sunce daleko najmasivnije tijelo Sunčeva sustava, njegovo privlačenje je dominantna sila. Druga postavka idealizacije jest da su dva tijela (sa slike 1) S i P tretirani kao materijalne točke.

Neka su m₁ i m₂ mase u točkama S i P i neka je točka C njihov centar mase. Točka C može biti uzeta kao ishodište, te će tada vektori položaja dvaju masa r₁ i r₂ zadovoljiti jednadžbu:Obratimo pažnju na vektor r = SP koji je:

Iz gornjih jednadžbi neposredno slijedi da su:

(3)

Cijela analiza biti će usmjerena na izvođenje relativne staze, a to je staza tijela P oko S, gdje će parametri koji slijede biti izvedeni u odnosu na tu orbitu. Za planet koji se giba oko Sunca kada je m1 >> m2 dobit ćemo orbitu koja će približno odgovarati njegovoj stvarnoj orbiti u prostoru. Međutim, ta nam aproksimacija i nije toliko bitna budući ovaj postupak vrijedi za bilo koji omjer m1 i m2. Pravu orbitu dvaju tijela u svemiru možemo naći iz relativne staze r korištenjem jednadžbi (3). Orbite dvaju tijela oko fiksnog centra mase slične su relativnoj stazi i s njom su u fazi. Tri orbite razlikuju se jedino u svojim veličinama koje su u sljedećem razmjeru:

SC : PC : SP = m₂ : m₁ : (m₁ + m₂) (4)

Jednadžbe gibanja dvaju tijela su:

gdje je F gravitacijska sila koja djeluje na tijelo m2.

(5)

Iz Newtonovog zakona gravitacije slijedi:

Akceleracija svakog od tijela može biti izvedena iz izraza (5) i nalazimo relativnu akceleraciju:

Zbog kratkoće uvodimo veličinu mkao:

Tada je relativno gibanje dvaju tijela određeno jednadžbom:

(8)

Svi važni zaključci oko gibanja dvaju tijela slijede iz posljednje diferencijalne jednadžbe drugog reda. Jednadžbu (8) lako dvostruko integriramo. Međutim, najprije djelujemo na nju množeći je vektorski s vektorom r i dobivamo:

što će integriranjem dati:

(9)

Ovdje je h konstantni vektor koji je proporcionalan ukupnom kutnom momentu sustava. S druge strane, promotrimo skalarni produkt jednadžbe (8) s prvom derivacijom vektora r, pa dobivamo:

budući vrijedi:

integriranjem dobivamo:

(10)

gdje je C konstanta integracije.

Ta jednadžba ekvivalentna je zakonu očuvanja energije. Obje jednadžbe očuvanja mogu biti iskazane u čisto skalarnoj formi pomoću pogodnog izbora koordinatnih osi. U tu svrhu uzete su cilindrične polarne koordinate (r,q, z), a z–os odabrana je u smjeru vektora h. Budući je:

staza je ograničena na xy-ravninu i Kartezijeve koordinate vektora r i h su:

Jednadžba (9) se sada svodi na jednu skalarnu jednadžbu:

Jednadžba (10) će poprimiti oblik:

(12)

S obzirom na (12) ona može biti napisana u obliku:

(13)

KEPLEROVA JEDNADŽBA ZA ZATVORENU STAZU

Konstanta C u izrazu (13) proporcionalna je ukupnoj energiji sustava. Pozitivna vrijednost C-a odgovara otvorenoj stazi u kojoj je ukupna energija dovoljna da omogući dvama tijelima izbjegavanje gravitacijskog vezivanja jednog s drugim. Relativna orbita je tada hiperbola. Takva staza opisuje gibanje čestice koja iz međuzvjezdanog prostora ulazi u Sunčev sustav, te ga napušta i odlazi u međuzvjezdani prostor.

Pretpostavimo li, međutim, da je vrijednost C-a negativna, pišemo:

(14)

gdje je a karakteristična duljina sustava. Sada iz izraza (12) i (13) uviđamo da je relativna brzina V dvaju tijela određena jednadžbom:

(15)

Lijeva strana ove jednadžbe ne može biti negativna. Dakle, zaključujemo da r < 2a pokazuje da je orbita zatvorena. Jasno, to je tip staze koji je bitan za proučavanje planetskog gibanja. Jednadžba (15) vrlo je važna. Ona nam omogućuje izračunavanje brzine planeta pri poznatom položaju planeta. Osim toga, smjer brzine planeta može biti izveden iz jednadžbe (12), koja daje transverzalnu komponentu brzine planeta VT

(16)

Međutim, veći je problem proračunati položaj planeta u određenom trenutku. U tu svrhu tražit ćemo matematičko rješenje problema. Oblik orbite i Keplerove zakone dobit ćemo kao posljedicu rezultata glavnog dijela analize.

Značajna točka u orbiti planeta je njegov perihel – točka na stazi planeta u kojoj je planet najbliži Suncu. Neka je t trenutak koji odgovara prolazu kroz perihel (planet je u točki A prikazanoj na slici 2.).

Slika 2

Neka je P opći položaj planeta u trenutku t. Njegov radijus-vektor je tada r = SP. Kut n =PSA zovemo pravomanomalijom-to je kut između pravca koji prolazi točkama S i A i pravca prema položaju planeta na orbiti. Računa se u smjeru gibanja planeta oko Sunca. On se razlikuje od polarnog kuta q jedino u tome što se mjeri od pravca koji prolazi točkama S i A (u smjeru perihela), a ne od x-osi.

Ako napišemo:

n = q-w (17)

konstantni kut w = xSA naziva se argumentperihela (kut od uzlaznog čvora do velike poluosi na kojoj je perihel, gdje je uzlazni čvor točka orbite planeta u kojoj orbita planeta siječe ravninu ekliptike, a u kojoj planet u svom godišnjem gibanju prelazi s južne nebeske polutke na sjevernu). Da bi odredili položaj planeta u njegovoj orbiti moramo dovesti u vezu koordinate (r,n) s vremenom t. Koristit ćemo jednadžbu (15) koju možemo zapisati na sljedeći način:

(18)

Ovdje je g(r) jednostavna oznaka za sljedeći kvadratni oblik:

(19)

Jednadžba (18) ukazuje da je:

g(r)Ł0

Iz toga možemo zaključiti da je radijus-vektor ograničen na interval:

r1Ł rŁ r2 (20)

gdje su r1 i r2 dva rješenja jednadžbe g(r)=0. Oni u stvari moraju odgovarati udaljenostima perihela i afela – (točka na orbiti planeta u kojoj je planet najudaljeniji od Sunca). To ćemo zapisati iz jednadžbe (19) na sljedeći način:

r1+r2=2a

Osim toga, sada je povoljno uvesti parametar e koji će kasnije biti identificiran s orbitalnim ekscentricitetom kao:

(21)

Koristeći se oznakama a i e uočavamo da je:

r1=a(1-e)

r2=a(1+e)

(22)

Nadalje, iz (19) lako uočimo da vrijedi:

To dovodi do važne relacije:

h² = ma (1-e²) (23)

Glede ograničenja r-a, prikladan parametarski zapis duljine radijus-vektora je:

r=a(1-ecosE) (24)

Parametar E poznat je kao ekscentrična anomalija. Ona je jednaka nuli u perihelu i njena vrijednost raste do 2p u smjeru gibanja. Sada ta promjena varijable, zajedno s jednadžbom (23), omogućuje da kvadratni oblik g(r) bude iskazan kao:

g(r)=-a²e²sin²E

To olakšava integraciju izraza (18) koji sada poprima oblik:

Integriranje ove jednadžbe je jednostavno. Međutim, prvo definirajmo srednju kutnu brzinu h tako da je:

h²a³=m (25)

Kako je E = 0 u perihelu, slijedi da je:

Mşh(t-t)=E-esinE (26)

Taj vrlo važan rezultat poznat je kao Keplerova jednadžba. Veličinu h(t – t) obično označavamo s M i zovemo je srednjom anomalijom – (to je kut koji bi radijus- vektor planeta zatvarao s pravcem prema perihelu, kada bi se planet gibao jednoliko po kružnici i to srednjom kutnom brzinom 2p/T). Kao i druge dvije anomalije, srednja anomalija jest kut koji je jednak nuli u trenutku t i koji se povećava do 2p za vrijeme jednog orbitalnog perioda. Za razliku od n i E, M se povećava jednoliko u vremenu i njegov rast je srednja kutna brzina h.

Ekscentrična anomalija vrlo je koristan matematički parametar. Radijus-vektor i vrijeme mogu biti sada iskazani kao funkcija ekscentrične anomalije, a na isti način to je moguće učiniti i s kutnom koordinatom q ili ekvivalentno s pravom anomalijom. Uvjet da je:

može iz izraza (23) i (26) biti zapisan kao:

Integriranjem prethodnog izraza, te supstitucijom u=tan(E/2), dobivamo:

(27)

Kako je u perihelu n =0 i E=0 izvodimo rezultat:

(28)

Položaj planeta (r,n) sada je potpuno iskazan kao funkcija ekscentrične anomalije jednadžbama (24) i (28). Ti izrazi, zajedno s Keplerovom jednadžbom (26), omogućavaju potpuno parametarsko rješenje problema.

TRI KEPLEROVA ZAKONA

Tri keplerova zakona gibanja planeta odnose se na geometrijski iskaz analitičkih rezultata koje smo egzaktno izveli. Promotrimo redom ta tri zakona:

1. Keplerov zakon

Vratimo se na izvod jednadžbe (28):

Uočimo da zamjenom uloga od n i E u izrazu (28), uz promjenu predznaka od e, možemo zaključiti:

Dakle,

Iz ovog izraza i jednadžbe (24) nalazimo:

(29)

Prepoznajemo standardnu jednadžbu elipse u polarnim koordinatama i time je potvrđen 1.Keplerovzakon. Konstanta e numerički je ekscentricitet elipse, a a njezina velika poluos.

2. Keplerov zakon

Vratimo se sada slici 2 i promotrimo gibanje planeta od P do P? tijekom kratkog intervala vremena dt. Površinu opisanu radijus-vektorom aproksimiramo površinom trokuta SPP?. Kao osnovica tog trokuta može biti uzeta SP=r pa će tada visina biti VTdt gdje je VT transverzalna brzina. Zbog toga je brzina opisivanja površine (1/2)rVT koja pomoću izraza (16) daje (1/2)h. To iskazuje 2. Keplerov zakon.

3. Keplerov zakon

Sadržan je u definiciji srednje kutne brzine h (jednadžba (25)). To proizlazi iz činjenice da je h konstantna brzina povećanja srednje anomalije; ona je također srednja brzina povećanja i druge dvije uvedene anomalije. Kako se svaka od njih povećava za 2p u jednom orbitalnom periodu, T, slijedi da je:

(30)

Zbog toga, koristeći definiciju od m; izraz (25) može biti zapisana kao:

(31)

Taj opći rezultat dovodi u vezu dvije mase s njihovim periodom revolucije i veličinom njihove relativne orbite. To je osnova za dinamičko određivanje masa svemirskih tijela.

Primijenimo 3.Keplerov zakon na orbitu planeta oko Sunca. Napišimo izraz (31) kao:

Budući da je m2 << m1, vidimo da će desna strana gornje jednadžbe biti približno jednaka za svaki od planeta. Treći Keplerov zakon koji nam govori da je a³proporcionalno s T² na taj je način izveden. Za razliku od druga dva zakona, jedino je ovaj treći približno točan, budući da zanemaruje masu planeta u usporedbi s masom Sunca. Za najveći planet, Jupiter, greška je reda veličine 0,1%.

RJEŠENJE KEPLEROVE JEDNADŽBE

Orbita planeta oko Sunca određena je obično sa šest orbitalnih elemenata. Oni su konstante gibanja koje ćemo formalno uvesti nešto kasnije, iako su četiri od njih (a, e, t, w) već uvedene ranije. Preostala dva orbitalna elementa nam sada ne trebaju, jer oni određuju ravninu orbite u prostoru, a zbog jednostavnosti to je do sada bila x-y ravnina koordinatnog sustava. Šest orbitalnih elemenata u potpunosti određuju stazu. Ukoliko su oni poznati, položaj planeta može biti izračunat u svakom trenutku, kao što ćemo pokazati u ovom poglavlju. Osim toga, poznavanje orbitalnih elemenata i dvije mase omogućava nam određivanje konstanti h i h jednadžbama (23) i (25). Dakle, pretpostavimo da su sve konstante koje dolaze u analizi poznate i da želimo izračunati položaj planeta (r, n) u određenom trenutku t. Prvo izračunajmo srednju anomaliju iz jednadžbe:

M=h(t-t)

Sljedeći korak je određivanje ekscentrične anomalije E iz Keplerove jednadžbe (26). Kako E nije iskazan eksplicitno nego algebarskom jednadžbom oblika:

f(E)=E-esinE-M=0 (32)

rješenje nalazimo iterativno (E=E0,E1,…) koristeći rekurzivnu relaciju:

E_n+1=M+esinE_n (33)

Ova se reukrzivna relacija vrlo lako koristi i očita je početna aproksimacija E₀=M. Metoda nije preporučljiva jer je konvergencija spora. Korištenje izraza (33) numerički je ekvivalentno analitičkom postupku prikaza veličine E kao reda potencija od e. Naravno, možemo očekivati da postupak konvergira pošto je e < 1. Međutim, ako je e vrlo mali, potrebno je uključiti veliki broj članova. Bolji postupak je riješiti jednadžbu (32) Newton-Raphson metodom koja ne postavlja nepraktične restrikcije na veličinu ekscentriciteta. Neka E0 bude prva aproksimacija za pravu vrijednost E. Pretpostavimo, u stvari da je E = E0+DE. Tada je f(E₀+DE) = 0. Razvijemo li to u Taylorov red do drugog člana dobivamo:

f(_E0) + D E f’(E₀)» f(E₀+D E) = 0.

Zbog toga, izvodimo aproksimativnu formulu za korekciju do E₀:

(34)

To je Newton-Raphsonova formula. Podrazumijeva se da će E₁=E₀+DE₀ biti poboljšana aproksimacija ekscentrične anomalije. Postupak može biti ponovljen zamjenom E₁s E₀ itd. U većini slučajeva već mali broj ponavljanja (iteracija) uvjetuje brzu konvergenciju. Lako je vidjeti da pogreška nastala kraćenjem Taylorovog reda iznosi oko O(DE²).

Uvrstimo li Newton-Raphsonovu formulu (34) u jednadžbu (32) dolazimo do iterativne formule:

(35)

Ona je očito kompliciranija od izraza (33), ali daleko vrijednija za posebne slučajeve. Do sada smo se služili radijanima kao jedinicama kuta. Ako su anomalije dane u stupnjevima Keplerova jednadžba zahtijeva izmjenu koja mijenja iterativnu formulu u:

(36)

Djelotvorna upotreba iterativnih formula (35) ili (36) zahtijeva jedino dobar početni izbor E₀ koji predstavlja blisku aproksimaciju od E. Za male vrijednosti ekscentriciteta dobar je izbor da je E₀=M; a izbor E₀=M+esinM još je bolji. Kada ekscentricitet nije malen onda takvi početni izbori nisu osobito bliski i može biti pronađeno neko poboljšanje.

Čisto grafička metoda odabira precizne vrijednosti E₀ predstavljena je Duffett-Smithovim postupkom u kojem je rješenje Keplerove jednadžbe bilo programirano. Međutim takav složeni postupak nije potreban jer je iterativni postupak vrlo stabilan.

Čim je završen prije navedeni numerički proces, vrijednost E iskoristimo za računanje (r, n) iz jednadžbi (24) i (28) te dobivamo:

r=a(1-ecosE)

(37)

Dakle, izračunali smo položaj planeta u vremenu t.

JEDNADŽBA CENTRA

Sada ćemo izvesti razvoj u red prave anomalije s članovima orbitalnog ekscentriciteta i srednje anomalije. Ta formula koja je poznata kao jednadžba centra biti će nam od koristi kasnije. Ona može dati približne rezultate za male ekscentricitete primjenom standardnog postupka kako je upravo opisan.

Korištenjem jednadžbi (17) i (26) te uzimanjem u obzir da vrijedi:

jednadžba (12) može biti napisana kao:

Koristimo li sada izraze (23), (25), i (29) nalazimo:

Odatle, budući da vrijedi n=0 ?M=0, možemo izraziti srednju anomaliju kao integral:

(38)

Za male vrijednosti orbitalnog ekscentriciteta e, podintegralna funkcija može biti prikazana kao red potencija ostajući na točnosti reda do e², pa imamo:

Integracija daje:

(39)

Na žalost, ova formula nije namijenjena za praktične potrebe, zato što je u stvarnosti M, a ne n fizički nezavisna varijabla. Međutim, formula može biti preokrenuta kao što slijedi. Za nulti red od e, očito je n = M. Supstituirajući to u drugi član s desne strane dobivamo da je:

n = M + 2esinM + O(e²).

To redom koristimo na desnoj strani jednadžbe (39) i nalazimo:

n= M + 2esin(M + 2esinM) – e²sin ²M + O(e³)

S uobičajenim aproksimacijama za mali kut nalazimo da:

n- M = 2esinM + e²sin 2M + O(e³) (40)

Razlika između prave anomalije i srednje anomalije poznata je kao jednadžba centra. To je kut između pravog heliocentričnog smjera planeta i smjera kojeg ima planet ako je njegova kutna brzina jednolika. Jednadžba centra izvedena je do reda e²u jednadžbi (40). Opisana metoda može se proširiti na izvod članova višeg reda, međutim algebra tada postaje sve teža.

KOMPONENTE BRZINE PLANETA

Transverzalna komponenta brzine planeta kao V_T bila je dana u jednadžbi (16). To može zajedno s izrazom (29) biti napisano kao:

V_T=V₀(1+ecosn) (41)

gdje je

(42)

Zbog toga, transverzalna brzina planeta može biti podijeljena na dva dijela; transverzalnu brzinu konstantne veličine V₀ i brzinu promjenjive veličine eV₀cosn .

Slika 3

Slika 3 pokazuje da je prava anomalija n kut između glavne osi CA i radijus-vektora. Povučemo li liniju PG položajem planeta paralelno s malom poluosi CB, transverzalni smjer PF čini kut n s linijom PG. Zbog toga promjenljivi dio transverzalne brzine može biti razmatran kao transverzalna komponenta konstantne brzine eV0 u smjeru PG, a to je paralelno s malom poluosi elipse. Važnost tog razlaganja transverzalne brzine uočit ćemo kad promotrimo radijalnu komponentu brzine planeta, V_r , pa iz jednadžbe (15) imamo:

Korištenjem izraza (29), (23) i (42) to imamo:

V_r²+V_T²=V₀²(1+2ecosn+e²)

Konačno, transverzalna komponenta je uklonjena korištenjem izraza (41) ostavljajući kao rezultat:

V_r=eV₀sinn (43)

Opažamo da je uzet pozitivan korijen, što vrijedi za 0 < n< p, jer je radijalna brzina pozitivna na pola orbite između perihela i afela.

U odnosu na sliku 3, jasno je objašnjenje jednadžbe (43), a to je da se radijalna brzina planeta može predstaviti kao radijalna komponenta konstantne brzine eV₀ u smjeru PG. Povezivanjem toga s ranijim rezultatom transverzalne komponente, možemo iskazati sljedeći važan teorem:

“Orbitalna brzina planeta može biti razložena na transverzalnu komponentu konstantne veličine

V₀=h/(a(1-e²))

i konstantnu brzinu veličine eV₀ paralelnu s malom poluosi elipse”.

ELIPTIČKA I HIPERBOLIČKA ORBITA

Najvažnije formule za eliptično gibanje su ukratko dane u tablici 1. Ono što nas vodi do tih jednadžbi sadržano je uglavnom u dosadašnjim razmatranjima. Polazna točka je uvođenje parametra a u jednadžbi (14); tj.

(14)

gdje je C konstanta integracije proporcionalna ukupnoj energiji sistema. Kasnije je a izjednačen s velikom poluosi orbite.

Budući smo razmatrali zatvorenu (eliptičnu) orbitu, C je bio negativan i a pozitivan, te se to podrazumijevalo u kasnijoj analizi. Međutim, ništa zaista ne zahtijeva da a bude pozitivan i formule u tablici 1 opisivati će otvorenu orbitu za a<0. Tada vidimo da je e >1 budući h² mora biti pozitivan. Prva jednadžba tada pokazuje da je orbita hiperbola s ekscentricitetom e, te velikom poluosi (–a). Osim toga, za podudaranje je neophodno da parametar h i anomalije E i M budu sve imaginarne. To je očito neprikladno. Bolji način postupanja s otvorenim orbitama je ponovo određivanje parametara uzimajući (–a) umjesto a, (ih ) za h , (iM) za M i (–iE) za E. Konačne formule tada obuhvaćaju jedino realne veličine i one su dane u tablici 2. Uočavamo da su tada formule položaja i brzine iskazane na isti način kao njihovi eliptični ekvivalenti. Keplerova jednadžba je posebno riješena Newton-Rapshonovom metodom čime je određen položaj tijela (r,n). Tri Keplerova zakona donekle su izmijenjena. Prvi sada govori o tome da je orbita hiperbola, drugi je nepromijenjen, dok treći ne može biti izveden na uobičajen način jer period hiperboličke orbite nije definiran. Pa ipak, jednadžba h²a³=m također je upotrebljiva jer povezuje svojstva orbite i vremensko trajanje bliskog međudjelovanja dva tijela danih masa.