Hrvatski

Energija tijela pri gibanju u gravitacijskom polju

Promotrimo tijelo mase m, koje se giba u gravitacijskom polju tijela znatno veće mase M (npr. Zemlja u gibanju oko Sunca). Kako znamo, u mehanici se energija pojavljuje u dva oblika: kao kinetička Ek, uslijed gibanja tijela izvjesnom brzinom v i kao potencijalna Ep , koja je posljedica određenog položaja kojeg zauzima tijelo i djelovanja izvjesne sile na njega. Potencijalnu energiju sadrži npr. nategnuta elastična opruga. Potencijalna energija tijela mase m, u gravitacijskom polju tijela mase M, dana je izrazom:


(3.15)

gdje je r udaljenost promatranih tijela. Do ovog izraza lako se dolazi ako računamo rad koji je potreban da bismo premjestili tijelo mase m u gravitacijskom polju tijela mase M. Naime, rad se izračunava kao produkt sile (a ovdje se radi o gravitacijskoj sili, danoj Newtonovim zakonom) i pripadnog puta (odgovara promjeni udaljenosti tijela). Jedini je problem u tom računu što se gravitacijska sila mijenja na tom putu pa je potrebno upotrijebiti diferencijalni račun, a do rezultata se može doći i elementarnom matematikom, zamijenimo li gravitacijsku silu na pripadnom putu, njenom srednjom (geometrijskom) vrijednosti. No, taj račun ovdje nije značajan. Ipak, prokomentirat ćemo relaciju (3.15). Zašto predznak “-“; Pretpostavimo da ga nema. Potencijalna energija bi tada opadala s udaljenosti, što bi značilo da se premještanjem tijela, iz manje u veću udaljenost, njegova energija smanjuje, što je pogrešno. Da bismo tijelo premjestili iz manje u veću udaljenost, potrebito je uložiti rad, čime se povećava potencijalna energija tijela. Dakle, potencijalna se energija povećava s udaljenosti i tu je obrazloženje negativnog predznaka. Također, potrebito je naglasiti da se potencijalna energija uvijek definira u odnosu na neki položaj tijela, gdje se pretpostavlja da je ona jednaka nuli ili da ima neku određenu vrijednost (obično je to na površini ili u središtu tijela mase M).

Vratimo se sada razmatranju gibanja tijela u gravitacijskom polju. Zbroj kinetičke i potencijalne energije tijela (u slučaju da ne djeluje nikakva druga sila) je konstantan i jednak ukupnoj energiji tijela:


(3.16)

Uz to, u ovom sustavu sačuvan je ukupni moment količine gibanja (L), čiji je iznos dan izrazom:

L = mvρ (3.17)

gdje je ρ udaljenost od Sunca do vektora brzine tijela. Moment količine gibanja zapravo je vektor, koji se dobije vektorskim množenjem impulsa i radijusvektora. Iznos vektorskog produkta jednak je produktu iznosa (modula)dvaju vektora i sinusa kuta među njima. Tako je iznos momenta količine gibanja u slučaju položaja tijela u točki A (sl.3.30) jednak:

L=mv1r1 sin(900 + α)

gdje je brzina vektor na pravcu AE, a radijusvektor leži na pravcu F1A. Kut od 900+α je kut između radijusvektora i vektora brzine. Tako je

L=mv1r1 cos(α)=mvρ1

Za tijelo, koje se giba po kružnici radijusa r, radijusvektor i brzina uvijek zatvaraju pravi kut pa je iznos momenta količine gibanja u svakoj točki kružnice jednak:

mvr

Kada iz izraza (3.17) izlučimo v i uvrstimo u izraz (3.16) slijedi:


(3.18)

Sl.3.30

Dokažimo da je ovim izrazom dana jednadžba elipse. Naime, jednadžba elipse može se pisati pomoću radijusvektora (r ) neke točke A na elipsi i udaljenosti od tangente u točki A na elipsu i žarišta elipse (sl.3.30). Radijusvektori točke A zatvaraju, u odnosu prema tangenti, jednake kutove. Iz sličnosti trokuta F1AE i F2BA, slijedi:


Iz pravokutnih trokuta F1F2B i F1BD možemo, primjenom Pitagorina poučka, izraziti kvadrat dužine F1B pa imamo relaciju:

(2c)2 – (ρ2 – ρ1)2 = (2a)2 – (ρ1 + ρ2)2

gdje je “c” linearni ekscentricitet i “a” velika poluos elipse (r1 + r2 = 2a), odakle dobivamo:

ρ1 ρ2 = a2 – c2 = b2

Izdvojimo sada tri relacije:

r1 + r2 = 2a


ρ1 ρ2 = b2

iz kojih (eliminacijom r2 i ρ2), dobivamo traženu jednadžbu elipse:


(3.19)

pri čemu smo ispustili oznaku indeksa. Prema tome, pokazali smo da je polazna jednadžba (3.18) stvarno jednadžba elipse. Usporedbom jednadžbi (3.18) i (3.19) nalazimo:

(3.20)


(3.21)

Jednakim načinom može se prikazati i jednadžba hiperbole. Koristeći se sl.3.31 možemo pokazati da za hiperbolu vrijedi:



Upotrijebimo izraze (3.20) i (3.21) tako da iz njih izračunamo veličine a i b . To nam omogućuje da izrazimo numerički ekscentricitet staze, koji je dan izrazom (3.9a):



na sljedeći način:


(3.22)

pri čemu smo supstituirali L=mvρ.

Sl. 3.31

Sl. 3.32

Jednadžba čunjastih presjeka daje za:

e < 1 elipsu

e = 1 parabolu

e > 1 hiperbolu i za

e = 0 kružnicu.

Iz izraza za numerički ekscentricitet (3.22) možemo komentirati za koje će vrijednosti ukupne energije E biti ispunjen pojedini od ovih slučajeva.

Da bi vrijedilo e=1, treba biti E=0. Dakle, ako se tijelo giba u gravitacijskom polju po paraboli, njegova ukupna energija jednaka je nuli. Prema tome, u svakoj točki staze njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj, na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom gibanju:


(3.23)

što je poznati izraz za brzinu oslobađanja, dakle, najmanju brzinu koju treba imati tijelo da napusti gravitacijsko polje.

Da bi vrijedilo e<1 (slučaj elipse) ukupna energija E mora biti manja od nule. Dakle, potencijalna energija je veća od kinetičke (u protivnom tijelo bi napustilo gravitacijsko polje). Može se pokazati da je tada ukupna energija dana izrazom:


(3.24)

dok je brzina tijela dana izrazom:


(3.25)

Za slučaj hiperbole, kada je e > 1, treba biti E > 0. Kinetička je energija veća od potencijalne. Tijelo napušta gravitacijsko polje. Tada je:


(3.26)


(3.27)

Na kraju ćemo pokazati da i za gibanje po elipsi vrijedi Newtonov zakon gravitacije. Naime, u prijašnjim razmatranjima pretpostavili smo kružne staze. Neka je Δl na sl.3.32 luk elipse. Moment količine gibanja tada je:

L = mvρ=



gdje je ΔA pripadna površina trokuta, a ΔA/Δt površinska brzina, koja je prema II Keplerovom zakonu konstantna. Neka je T ophodno vrijeme planeta. Površina elipse dana je izrazom abp. Tada se površinska brzina može izraziti i kao abπ/T pa prethodni izraz prelazi u:



Upotrijebimo li izraze (3.20) i (3.21) , koji su zapravo dobiveni uz pretpostavku da Sunce djeluje na planet gravitacijskom silom danom Newtonovim zakonom, dobivamo:



Iz posljednja dva izraza, jednostavnim računom, slijedi treći Keplerov zakon:



Radi daljnjih razmatranja, na ovom mjestu potrebito je naglasiti da se u mnogim izrazima, koji se koriste u nebeskoj mehanici, gravitacijska konstanta G pojavljuje pod korijenom. Stoga se pokazalo zgodnijim koristiti konstantu, koja je povezana s drugim korijenom gravitacijske konstante. Nazvana je Gaussova gravitacijska konstanta (k). U astronomskom sustavu jedinica vrijeme se iskazuje u srednjim sunčevim danima, udaljenost u astronomskim jedinicama i masa u jedinicama mase Sunca. Gaussova konstanta definira se kao:


Astronomska jedinica više se ne definira kao velika poluos Zemljine staze. Uslijed planetnih perturbacija i drugih faktora, iznos velike poluosi staze našeg planeta nije konstantan. Osnovna jedinica za udaljenost u astronomiji definira se preko teorije gravitacije, odnosno preko vrijednosti Gaussove konstante. Naime, iz prethodna dva izraza mogu se povezati tri veličine: srednja udaljenost Zemlje od Sunca (velika poluos staze a), period ophoda Zemlje oko Sunca (T) i Gaussova konstanta k. Tada se astronomska jedinica definira kao ona vrijednost polumjera (a) kružne staze tijela zanemarive mase (i koje nije podložno perturbacijama) čije je vrijeme ophoda oko Sunca 2π/k dana, pri čemu je vrijednost Gaussove konstante:

k = 0,01720209895

Na taj je način osigurana konstantnost astronomske jedinice, koja ne ovisi o promjenama srednje udaljenosti Zemlje od Sunca.