Položaj na nebeskoj sferi
Nakon što je određen položaj nebeskog tijela na njegovoj stazi prelazimo na proračun položaja objekta na nebeskoj sferi. Pri tome je potrebno poznavati elemente koji određuju položaj staze objekta u prostoru (tj. u odnosu na ravninu ekliptike). Načelno, prvo se određuju heliocentrične koordinate objekta (dakle, njegov položaj u sustavu čije je ishodište u Suncu), a zatim se prelazi u geocentrični sustav. Pri tome je neophodan i podatak o položaju Zemlje u danom trenutku t, za koji računamo položaj objekta.
a) heliocentrične koordinate
Na slici 3.35a prikazana je staza objekta u odnosu na ravninu ekliptike. Naznačeni su svi elementi koji jednoznačno definiraju položaj staze u prostoru. Neka je A položaj nebeskog tijela na njegovoj stazi u određenom trenutku t. Kako znamo, položaj objekta na njegovoj stazi određen je dvjema veličinama, r i f. Prvo ćemo odrediti heliocentrične ekliptičke koordinate objekta (longitudu l i latitudu b). Uočimo sferni trokut jA’A, koji je radi preglednosti izdvojeno nacrtan (sl.3.35b.). Radi se o pravokutnom sfernom trokutu. U vrhu A’ je pravi kut. Naime, luk AA’ položen je u točki A okomito prema ravnini ekliptike. Ovaj luk dio je velike kružnice nebeske sfere, koja prolazi točkom A i polovima ekliptike. Prema tome, luk AA’ predstavlja heliocentričnu ekliptičku latitudu (širinu) objekta A. Heliocentrična ekliptička longituda (duljina) “l” je kutna udaljenost od proljetne točke do točke A’. Kutna udaljenost između sjecišta “j” staze objekta s ravninom ekliptike i proljetne točke je longituda perihela Ω (pri čemu je “j” uzlazni čvor). Kutna udaljenost točke “j” i perihela je argument perihela ω. Kut “i” je inklinacija. Primijenimo poučke sferne trigonometrije na trokut jA’A, u kojemu su na slici naznačene vrijednosti stranica i kutova:
sinb = sin(ω+f)sini
cosb sin(lΩ) = sin(ω+f)cosi
cosb cos(lΩ) = cos(ω+f) .
Nakon što podijelimo posljednja dva izraza, gornje se relacije svode na:
sinb = sin(ω+f)sini (3.35a)
tg(lΩ) = tg(ω+f)cosi (3.35b)
Na temelju ovih izraza ( (3.35a) i (3.35b) ) iz r i f mogu se izračunati heliocentrične ekliptičke koordinate l i b. Poznavajući l i b možemo izračunati pravokutne heliocentrične ekliptičke koordinate xh, yh, zh (sl.3.36). Pri tome se koristimo izrazima:
xh = r cosb cosl
yh = r cosb sinl
zh = r sinb
koji slijede neposredno iz sl.3.36.
Sl.3.35 a i b Uz vezu heliocentričnih ekliptičkih koordinata (l,b) i polarnih koordinata (r,f)
Sl.3.36 Veza heliocentričnih ekliptičkih koordinata (l,b) i pravokutnih heliocentričnih ekl. koordinata (xh, yh, zh).
Sl.3.37 Veza pravokutnih heliocentričnih ekliptičkih koordinata (xh, yh, zh) i pravokutnih heliocentričnih ekvatorskih koordinata (x,y,z).
Radi izračunavanja pravokutnih heliocentričnih ekvatorskih koordinata objekta (x,y,z) dovoljno je pravokutni heliocentrični ekliptički sustav zakrenuti za kut ε oko xosi. Naime, xos je u oba ova sustava usmjerena prema proljetnoj točki pa se xkoordinata ovom transformacijom ne mijenja. Formule za transformaciju y i z koordinata lako se nalaze pomoću sl.3.37. Tako dobivamo izraze za transformaciju iz pravokutnog heliocentričnog ekliptičkog sustava u pravokutni heliocentrični ekvatorski sustav:
x = xh (3.36a)
y = yh cosε z sinε (3.36b)
z = zh cosε+ y sinε (3.36c)
b) geocentrične koordinate
Translatiramo li ishodište heliocentričnog pravokutnog ekvatorskog koordinatnog sustava u točku u kojoj se nalazi Zemlja, možemo izračunati pravokutne geocentrične ekvatorske koordinate objekta (x0, y0, z0). Neka su X0, Y0, Z0 pravokutne geocentrične koordinate Sunca. Tada se transformacija iz heliocentričnog u geocentrični pravokutni ekvatorski koordinatni sustav svodi na jednostavnu translaciju:
x0 = x + X0 (3.37a)
y0 = y + Y0 (3.37b)
z0 = z + Z0 (3.37c)
Koordinate X0, Y0, Z0 za određeni datum u godini mogu se pronaći u astronomskim godišnjacima. One se mogu dobiti i iz rješenja Keplerove jednadžbe za Zemlju!
Iz geocentričnih pravokutnih koordinata lako određujemo rektascenziju α i deklinaciju, δ, objekta. Također, možemo izračunati i udaljenost, ρ, objekta od Zemlje. Ove tri veličine obično se nazivaju koordinatama geocentričnog ekvatorskog sustava, za razliku od sfernog ekvatorskog sustava u kojemu je položaj objekta na nebeskoj sferi jednoznačno određen dvjema koordinatama (α i δ). Lako se pokazuje da je veza između geocentričnih ekvatorskih koordinata (ρ, α, δ) i pravokutnih geocentričnih ekvatorskih koordinata (x0, y0, z0) sadržana u izrazima:
x0 = ρ cosδ cosα (3.38a)
y0 = ρ cosδ sinα (3.38b)
z0 = ρ sinδ (3.38c)
Iz ovih izraza (njihovim uzajamnim dijeljenjem, te kvadriranjem i zbrajanjem) možemo dobiti i relacije za izračunavanje ekvatorskih geocentričnih koordinata iz pravokutnih geocentričnih ekvatorskih koordinata:
(3.39a)
(3.39b)
r2 = x02 + y02 + z02 (3.39c)
Podatak o udaljenosti planeta može nam poslužiti i za izračunavanje njegova prividnog sjaja.
Računi, koji se temelje na ovdje prikazanim metodama, daju zadovoljavajuće rezultate za kraći vremenski period. Naime, zanemareno je uzajamno gravitacijsko djelovanje planeta. Problem je razmatran kao da imamo samo dva tijela: planet i Sunce. Uz to, pretpostavljeno je da je masa planeta zanemariva u odnosu na masu Sunca (problem jednog tijela). Treći Keplerov zakon poprima složeniji oblik u slučaju kada se radi o problemu dvaju tijela usporedivih masa. U slučaju problema više od dva tijela nemoguće je analitički formulirati općenito rješenje. Obično se problemima više tijela pristupa tako, da zasebno promatramo dinamiku dvaju odabranih tijela, nakon čega se naknadno uzimaju u obzir gravitacijski utjecaji ostalih tijela (perturbacije). Jedno od zanimljivih rješenja problema triju tijela, do kojeg je prvi došao Joseph Louis Lagrange, ukazuje da položaji tijela uzajamno zauzimaju vrhove jednakokračnog trokuta (Lagrangeove točke). Otkrivene su skupine asteroida koje pokazuju takvu konfiguraciju (npr. Trojanci). I prašina na Mjesečevoj stazi oko Zemlje (koja nastaje od meteoridskih udara u Zemljin satelit) na sličan se način grupira oko Lagrangeovih točaka. Oblaci ove prašine (oblaci Kordiljevskog) viđeni su čak i golim okom.
Uslijed perturbacija, elementi planetnih staza nisu konstantni u vremenu. Ipak, kako su mase planeta mnogo manje od mase Sunca, promjene elemenata planetnih staza u relativno kraćem periodu vremena nisu velike. Razvijene su složene metode nebeske mehanike (koje uključuju i opću teoriju relativnosti) za računanje promjena elemenata planetnih staza, a također i promjena elemenata staza satelita planeta (kod satelita planeta računi su još složeniji jer, primjera radi, treba voditi računa o spljoštenosti planeta, utjecaju atmosfere planeta, utjecaju gravitacijskog polja i tlaka zračenja Sunca, utjecaju elektromagnetskog polja i sl.). Rezultati takvih računa sadržani su u izrazima koji prikazuju ovisnost iznosa pojedinog elementa planetnih staza o vremenu (t). Izrazi su oblika:
η = η0 + λ1t + λ2t + (periodički članovi)+(t*periodički članovi)
gdje je η element planetne staze, η0 njegova početna vrijednost, λ1 i λ2 su konstante. Zanemarimo li periodičke članove, tada govorimo o srednjim elementima planetnih staza. Kod izrade astronomskih godišnjaka ili kompjutorskih programa za proračunavanje položaja planeta u duljem vremenskom periodu, potrebito je voditi računa o promjenama elemenata planetnih staza.
U astronomskim godišnjacima možemo pronaći vrijednosti (η) elemenata staza planeta i malih planeta za svakih četrdesetak dana (tzv. osculating elements). Iz tih elemenata moguće je, opisanim postupkom, proračunati položaj na nebeskoj sferi. U postupku pretpostavljamo da se tijelo giba po stazi, koja je definirana konstantnim vrijednostima h elemenata staza, dakle, zanemarujemo “na trenutak” perturbacije. Kako se radi relativno o kraćem vremenskom periodu postupak daje točne rezultate.
Uobičajeno je da se, umjesto trenutka prolaza perihelom, u astronomskim godišnjacima navodi vrijednost srednje longitude (L0) planeta za određeni trenutak (epohu) τ0. Srednja longituda L jednaka je zbroju srednje anomalije M = n(tt0), (gdje je t0 vrijeme prolaza perihelom), i longitude perihela π. Tada je srednja anomalija u nekom vremenu t dana izrazom:
M = n(tτ0) + L0 π
Za male planete, umjesto L0 i π, obično nalazimo srednju anomaliju M0 za određenu epohu i argument perihela ω, pa je:
M = n(tτ0) + M0
Dakle, za velike planete nalazimo podatke (a, n, e, i, Ω, π, L0), a za asteroide (a, n, e, i, Ω, ω, M0).
Uzimajući u obzir masu planeta, u odnosu na Sunčevu, veličina n2a3 nije jednaka za svaki planet Sunčeva sustava (III. Keplerov zakon tada ima izmijenjen oblik od onog kojeg smo do sada koristili). Stoga je uobičajeno veličinu “n” smatrati jednim od elemenata planetne staze. Jednako vrijedi i za asteroide. U slučaju da “n” nije zadan, može se izračunati iz vrijednosti velike poluosi, pomoću trećeg Keplerovog zakona.
Napomenimo da je ovdje detaljnije prikazana samo jedna od metoda proračunavanja položaja objekata na nebeskoj sferi iz zadanih elemenata staza i to posebno za slučaj kada je staza elipsa. Druge metode rješavanja, kao i različiti postupci koji se primjenjuju u slučaju kada su staze parabole ili hiperbole, mogu se pronaći u odgovarajućoj astronomskoj literaturi.