Uvod i pristup problemu
Osnovna zadaća nebeske mehanike je matematički opis gibanja nebeskih tijela, koji se može upotrijebiti za predviđanje položaja planeta, asteroida i kometa, kao i svemirskih letjelica, a omogućuje precizno predviđanje nastupanja pomrčina Sunca i Mjeseca, okultacija i drugih astronomskih pojava. Isto tako, na temelju opažanja, proračunavaju se staze svemirskih tijela (npr. kometa). Matematičke metode, koje se pri tome upotrebljavaju, općenito su složene, pogotovo stoga što jednadžbe gibanja nebeskih tijela ovise o velikom broju parametara, a potrebne su i korekcije iz opažanja. Rezultati takvih opsežnih i složenih računa, na koje se nećemo ovdje osvrtati, redovito se publiciraju (npr. u astronomskim godišnjacima). Koristeći se astronomskim godišnjacima i sličnim izdanjima, možemo pronaći podatke o budućim položajima nebeskih tijela i potrebne podatke o nastupajućim astronomskim pojavama. No, bez obzira na tu pogodnost, u daljnjem ćemo tekstu razmotriti jedan od osnovnih problema nebeske mehanike: prikazat ćemo postupak proračunavanja položaja planeta na nebeskoj sferi, iz poznavanja elemenata njihovih staza. Uzet ćemo u obzir eliptičnost planetnih staza te njihovu orijentaciju u prostoru. Ipak zanemarit ćemo nekoliko bitnih činitelja. Spomenimo uzajamno gravitacijsko djelovanje planeta. Kod Merkura je izrazita i pojava pomicanja perihela, koja je našla potvrdu u okviru opće teorije relativnosti. No, ne treba pomisliti da ćemo, uz ova zanemarivanja, dobiti vrlo grube rezultate. Kao što se može provjeriti rješavanjem konkretnih problema, postupak će davati rezultate sa zadovoljavajućom točnošću za relativno kraće vremenske periode. Uz to, koristan je npr. kod računanja položaja malih planeta, na temelju podataka o elementima njihovih staza, koji se publiciraju u astronomskim godišnjacima. Radi računanja položaja nebeskih tijela u duljem vremenskom periodu, potrebito je voditi računa o promjenama elemenata planetnih staza, a u mnogim je problemima nužno neke od elemenata planetnih staza reducirati na odgovarajuću epohu. Također, značajna je razlika efemeridnog i svjetskog vremena, u kojima se prikazuju rezultati računa. U nekim slučajevima, koji zahtijevaju veću preciznost (npr. proračuni okultacija), uzimaju se u obzir i pojave koje dovode do promjena koordinata (npr. položaj opažača na Zemlji, aberacija, nutacija). Zahvaljujući razvitku informatike, ovakvi proračuni tehnički ne predstavljaju osobiti problem. Naime, u astronomskoj literaturi mogu se pronaći gotovi izrazi za izradu astronomskih programa. No, kako oni zahtijevaju neka dodatna obrazloženja, ovdje ćemo se ograničiti samo na jednostavnu metodu proračuna položaja planeta na nebeskoj sferi.
Pristup
Da bismo jednoznačno opisali gibanje planeta u prostoru, koristimo dvije skupine podataka, tzv. elemente planetnih staza. Prva se odnosi na gibanje planeta u ravnini njegove staze, dakle, radi se o veličinama koje opisuju položaj planeta na elipsi. Da bismo mogli odrediti položaj planeta na njegovoj stazi, za bilo koji vremenski trenutak, potrebito je znati kako se veličine, koje opisuju položaj planeta, mijenjaju s vremenom. Jasno, pri tome je potrebito i definirati početne uvjete. Obično se uzima vremenski trenutak kada planet prolazi perihelom. Za slučaj kružne putanje problem je trivijalan: uvodimo srednju kutnu brzinu planeta i lako izračunavamo njegov heliocentrični položaj u odnosu na pravac Sunce proljetna točka. Međutim, za elipsu je problem složeniji. Planet se giba nejednolikom brzinom pa se i veličine, koje opisuju njegov položaj, nejednoliko mijenjaju u vremenu. Problem se rješava tako da uvodimo adekvatne veličine, koje se jednoliko mijenjaju s vremenom i na temelju kojih ipak precizno možemo opisati položaj planeta na eliptičnoj putanji. Problem ćemo riješiti koristeći se tzv. Keplerovom jednadžbom. Da bismo na temelju ovih podataka mogli odrediti položaj planeta na nebeskoj sferi, potrebni su podaci koji opisuju položaj planetne staze u odnosu na ekliptiku. Također, radi prijelaza iz heliocentričnih u geocentrične koordinate, potrebito je za dani trenutak vremena poznavati i položaj Zemlje na njenoj stazi oko Sunca (što se opet svodi na rješavanje Keplerove jednadžbe, a mogu se koristiti i tzv. geocentrične pravokutne koordinate Sunca, koje nalazimo u astronomskim godišnjacima). Matematički, ovaj se dio problema svodi na transformacije koordinatnih sustava, pri čemu, za razliku od problema u sfernoj astronomiji, ovdje treba voditi računa i o udaljenosti objekta od opažača (položaj je određen s tri koordinate, za razliku od sfernih sustava, kod kojih je položaj jednoznačno određen s dvije koordinate).