Hrvatski

Položaj na eliptičnoj stazi – Keplerova jednadžba

Položaj A planeta na elipsi (sl.3.33) u nekom trenutku t jednoznačno možemo odrediti dvjema koordinatama: radijusvektorom r i kutem f. U ishodištu ovog koordinatnog sustava (a to je polarni koordinatni sustav u ravnini), nalazi se Sunce (S). Kut f je prava anomalija. To je kut između pravca od ishodišta prema perihelu (P) i pravca prema položaju planeta na elipsi. Računa se u smjeru gibanja planeta oko Sunca.

Sl.3.33 Položaj planeta na eliptičnoj stazi određuju koordinate (r,f). Kut E je tzv. ekscentrična anomalija.

Sl.3.34 Elipsu možemo prikazati kao projekciju kružnice.

Koordinate r i f ne računamo neposredno. U tu svrhu uvodimo dva pomoćna kuta, E i M, koja definiramo na sljedeći način: tjeme kuta E, koji se naziva ekscentrična anomalija nalazi se u središtu elipse 0, jedan krak je uperen prema perihelu, a drugi prema točki N, koja leži na kružnici polumjera jednakog velikoj poluosi elipse i sa središtem u središtu elipse, pri čemu točka N predstavlja presjecište te kružnice s pravcem u točki A, okomitim na liniju afel­perihel (apsidna linija); kut M naziva se srednja anomalija. To je kut koji bi radijusvektor planeta zatvarao s pravcem prema perihelu, kada bi se planet gibao jednoliko po kružnici i to srednjom kutnom brzinom:


Neka je t trenutak prolaza planeta kroz perihel, a t trenutak za bilo koji položaj planeta na stazi. Tada je srednja anomalija dana izrazom:

(3.28)

odakle je:


Planet za vrijeme (t ­ t0) prijeđe luk PN, za koje vrijeme radijusvektor prijeđe površinu PSA. Po drugom Keplerovom zakonu radijusvektor planeta u jednakim vremenima opisuje jednake površine. Prema tome, površina koju prijeđe radijusvektor proporcionalna je vremenu, pa vrijedi:

(3.28a)

gdje je abp površina elipse. Iz ovog izraza površinu možemo iskazati kao:


Površinu PSA možemo iskazati i na drugi način. Podsjetimo se da elipsu možemo smatrati projekcijom kružnice čiji je polumjer jednak velikoj poluosi elipse. Na slici 3.34 prikazana je kružnica polumjera a. Ravnina kružnice zakrenuta je za kut α i u takvoj projekciji kružnica prelazi u elipsu. Očito je:


Razdijelimo sada površinu PSA na dva dijela:

PSA = PQA + QSA

pa nađimo izraz za površinu svakog od tih dijelova:

PQA = PQN cos a = (PQN – QON) cos a =





Kako je QS = a cosE ­ ea, to dalje imamo:


Iz toga za ukupnu površinu dobivamo:


Supstituiramo li PSA iz izraza (3.28a) imamo:

M = E ­ e sinE (3.29)

Dobiveni izraz predstavlja Keplerovu jednadžbu. Njenim rješavanjem izračunava se ekscentrična anomalija E iz poznate vrijednosti srednje anomalije M (koja se lako određuje formulom (3.28) ) i poznatog numeričkog ekscentriciteta (e) elipse. Pomoću E i M lako proračunavamo heliocentrične polarne koordinate r i f:



Uz izraz (3.9a), nakon kraćeg računanja, dobivamo izraz za radijusvektor:

r = a(1­ e cosE) (3.30)

Da bismo našli i pravu anomaliju f, ovaj izraz uspoređujemo s polarnim oblikom jednadžbe elipse:

(3.31)

koji se može dobiti iz izraza (3.14b) uz (3.9a) i (3.9b).

Dakle, iz posljednja dva izraza (3.30) i (3.31), slijedi formula po kojoj računamo pravu anomaliju:


(3.32)