Hrvatski

Zadaci

Izračunajte:

1. Uz pretpostavku da je staza planeta kružnica, pokažite da je iznos kinetičke energije planeta jednak polovičnoj vrijednosti potencijalne energije (virijalni teorem) te da je ukupna energija planeta dana izrazom:


gdje je M masa Sunca, m masa planeta, r udaljenost planeta od Sunca i G gravitacijska konstanta. (Spomenimo da virijalni teorem vrijedi općenito za sustav točkastih masa, vezanih gravitacijskom silom)


2. Pokažite da je Gaussova konstanta (k = (GM)1/2) jednaka:



gdje je T period ophoda Zemlje oko Sunca, dok je a velika poluos staze. Na koji je način definirana astronomska jedinica?


3. Pokažite da se srednja anomalija M može pisati u obliku:

gdje je k Gaussova konstanta, “a” velika poluos staze i t0 trenutak prolaza perihelom.


4. U umanjenom mjerilu skicirajte Zemljinu stazu (zanemarite ekscentricitet) i stazu kometa čiji su elementi:

a = 2a.j. ; e = 0,8 ; i= 7o ; Ω = 30o ; ω = 45o

Pri crtanju zanemarite inklinaciju kometske staze.

Rješenje: Odaberimo točku S, koja predstavlja Sunce. šestarom opisujemo stazu Zemlje, polumjera r = 1a.j. Proizvoljno ucrtavamo pravac Sγ (Sunce­proljetna točka) te u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu mjerimo kut Ω i ucrtavamo pravac NN’. U odnosu na pravac NN’ pod kutem ω=45o u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (jer je i < 90o) postavljamo pravac KK’ (linija apsida kometske staze). Perigej π kometa nalazi se u udaljenosti od Sunca jednakoj a(1­e)=0,4 a.j. Drugo žarište elipse nalazi se u udaljenosti 2c od žarišta S:

SS’ = 2c = 2ea = 2·0,8·2 = 3,2 a.j.

Afel je u udaljenosti a(1+c) = 3,2 a.j. od točke S’. Nakon što smo odredili točke SS’, pomoću konopca ukupne duljine 2a, čiji su krajevi učvršćeni u točke S i S’, konstruiramo stazu kometa.


5. Pokažite da je relacija


ekvivalentna izrazu (3.32):


gdje je f prava anomalija, a E ekscentrična anomalija.


6. Riješite Keplerovu jednadžbu M = E ­ e sinE, ako je e = 0,123 i M = 6o.

Rješenje:

a) prvi način: jednostavna metoda iteracije

E0 = M = 6o


6,736651893o



6,826700348o

E3 = 6,837698812o

E4 = 6,839042017o

E5 = 6,839206055o

E6 = 6,839226089o

E7 = 6,839228535o

E8 = 6,839228834o

E9 = 6,839228870o

E10 = 6,839228875o

E11 = 6,839228875o = E10 = E


b) drugi način: približno rješenje slijedi neposredno iz izraza:



E = 6,839263061o

(Napomena: u ovom slučaju postignuta je točnost od 0,0001o. Općenito točnost ove metode ovisi o vrijednosti ekscentriciteta e)


c) treći način: iteracija pomoću izraza:



Eo = M = 6o

= 6,839323092o



= 6,839228875o = E

Već u trećem “koraku” imamo točnost 0,000000001o.


7. Velika poluos staze kometa iznosi a = 4 a.j., dok je numerički ekscentricitet e = 0,66144. Odredite pravu anomaliju (f) i radijusvektor (r) kometa godinu dana nakon prolaza kometa perihelom.

Rješenje: Prema trećem Keplerovom zakonu T2 = a3, slijedi da je T = 8 god.



E0 = M = 45o

= 95,34411714o



= 83,46481077o

E3 = 82,58525263o

E4 = 82,58040508o

E5 = 82,58040493o = E

Pravu anomaliju možemo izračunati prema izrazu (5.zadatak):



f = 125,592093o

r = a(1 – e cosE) = 3,658340473 a.j.


8. Elementi staze malog planeta Ceresa za epohu τ0 = 1984 X 27,0 su:

a = 2,7666a.j. ; n = 0,21419o /d ; e = 0,0784 ; i = 10,606o ; Ω = 80,718o ; ω = 72,890o ; M = 260,117o. Kut između ravnine zemaljskog ekvatora i ekliptike za zadanu epohu t iznosi e = 23o26’21,4″ = 23,43927778o.

Odredite geocentrične ekvatorske koordinate Ceresa za datum t = 1984 XII 13,0. Geocentrične pravokutne koordinate Sunca za datum 1984 XII 13,0 iznose:

Xo = ­0,147528 , Yo = ­0,892916 i Zo = ­0,387161.

Rješenje: Prvo je potrebito odrediti srednju anomaliju M za zadani trenutak t. Premda se radi o kratkom vremenskom intervalu t­τ0, njegov iznos odredit ćemo pomoću tablice julijanskih datuma (vidjeti 2. poglavlje):

t = 1984 XII 13,0 JD = 2446048,5

τ0 = 1984 X 27,0 JD= 2446001,5

—————————————————-

t-τ0 = 47d M =n(t-τ0) + M0 = (0,21419o /d)*47d + 260,117o

M = 270,18393o

Metodom iteracije rješavamo Keplerovu jednadžbu:

E0 = M = 270,18393o

= 265,6908332o


= 265,7045583o


E3 = 2657045584o = E

Prava anomalija f i radijusvektor r su:



f = 261,2337059o

r = a(1­ecosE) = 2,782845787 a.j.

Heliocentrične ekliptičke koordinate (b, l) su:

prema sinb = sin(ω+f) sini, slijedi b = ­4,607346422o = ­4o36’26,4″

iz tg(l­Ω) = tg(ω+f) cosi je l = 55,227317o = 55o13’38,3″

Pravokutne heliocentrične ekliptičke koordinate:

xh = r cosb cosl = 1,581989547 a.j.

yh = r cosb sinl = 2,27850192 a.j.

zh = r sinb = ­0,223536901 a.j.

Pravokutne heliocentrične ekvatorske koordinate:

x = xh = 1,581989547 a.j.

y = yh cosε ­ zh sinε = 2,179402674 a.j.

z = zh cosε + yh sinε = 0,701244408 a.j.

Geocentrične pravokutne ekvatorske koordinate:

x0 = x + X0 = 1,434461547 a.j.

y0 = y + Y0 = 1,286486674 a.j.

z0 = z + Z0 = 0,314083408 a.j.

Geocentrične ekvatorske koordinate:


= 41,88711751o = 2h47m32,9s


= 9o15’28,9″


= 1,9523 a.j.