Zadaci
Izračunajte:
1. Uz pretpostavku da je staza planeta kružnica, pokažite da je iznos kinetičke energije planeta jednak polovičnoj vrijednosti potencijalne energije (virijalni teorem) te da je ukupna energija planeta dana izrazom:
gdje je M masa Sunca, m masa planeta, r udaljenost planeta od Sunca i G gravitacijska konstanta. (Spomenimo da virijalni teorem vrijedi općenito za sustav točkastih masa, vezanih gravitacijskom silom)
2. Pokažite da je Gaussova konstanta (k = (GM)1/2) jednaka:
gdje je T period ophoda Zemlje oko Sunca, dok je a velika poluos staze. Na koji je način definirana astronomska jedinica?
3. Pokažite da se srednja anomalija M može pisati u obliku:
gdje je k Gaussova konstanta, “a” velika poluos staze i t0 trenutak prolaza perihelom.
4. U umanjenom mjerilu skicirajte Zemljinu stazu (zanemarite ekscentricitet) i stazu kometa čiji su elementi:
a = 2a.j. ; e = 0,8 ; i= 7o ; Ω = 30o ; ω = 45o
Pri crtanju zanemarite inklinaciju kometske staze.
Rješenje: Odaberimo točku S, koja predstavlja Sunce. šestarom opisujemo stazu Zemlje, polumjera r = 1a.j. Proizvoljno ucrtavamo pravac Sγ (Sunceproljetna točka) te u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu mjerimo kut Ω i ucrtavamo pravac NN’. U odnosu na pravac NN’ pod kutem ω=45o u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (jer je i < 90o) postavljamo pravac KK’ (linija apsida kometske staze). Perigej π kometa nalazi se u udaljenosti od Sunca jednakoj a(1e)=0,4 a.j. Drugo žarište elipse nalazi se u udaljenosti 2c od žarišta S:
SS’ = 2c = 2ea = 2·0,8·2 = 3,2 a.j.
Afel je u udaljenosti a(1+c) = 3,2 a.j. od točke S’. Nakon što smo odredili točke SS’, pomoću konopca ukupne duljine 2a, čiji su krajevi učvršćeni u točke S i S’, konstruiramo stazu kometa.
5. Pokažite da je relacija
ekvivalentna izrazu (3.32):
gdje je f prava anomalija, a E ekscentrična anomalija.
6. Riješite Keplerovu jednadžbu M = E e sinE, ako je e = 0,123 i M = 6o.
Rješenje:
a) prvi način: jednostavna metoda iteracije
E0 = M = 6o
6,736651893o
6,826700348o
E3 = 6,837698812o
E4 = 6,839042017o
E5 = 6,839206055o
E6 = 6,839226089o
E7 = 6,839228535o
E8 = 6,839228834o
E9 = 6,839228870o
E10 = 6,839228875o
E11 = 6,839228875o = E10 = E
b) drugi način: približno rješenje slijedi neposredno iz izraza:
E = 6,839263061o
(Napomena: u ovom slučaju postignuta je točnost od 0,0001o. Općenito točnost ove metode ovisi o vrijednosti ekscentriciteta e)
c) treći način: iteracija pomoću izraza:
Eo = M = 6o
= 6,839323092o
= 6,839228875o = E
Već u trećem “koraku” imamo točnost 0,000000001o.
7. Velika poluos staze kometa iznosi a = 4 a.j., dok je numerički ekscentricitet e = 0,66144. Odredite pravu anomaliju (f) i radijusvektor (r) kometa godinu dana nakon prolaza kometa perihelom.
Rješenje: Prema trećem Keplerovom zakonu T2 = a3, slijedi da je T = 8 god.
E0 = M = 45o
= 95,34411714o
= 83,46481077o
E3 = 82,58525263o
E4 = 82,58040508o
E5 = 82,58040493o = E
Pravu anomaliju možemo izračunati prema izrazu (5.zadatak):
f = 125,592093o
r = a(1 – e cosE) = 3,658340473 a.j.
8. Elementi staze malog planeta Ceresa za epohu τ0 = 1984 X 27,0 su:
a = 2,7666a.j. ; n = 0,21419o /d ; e = 0,0784 ; i = 10,606o ; Ω = 80,718o ; ω = 72,890o ; M = 260,117o. Kut između ravnine zemaljskog ekvatora i ekliptike za zadanu epohu t iznosi e = 23o26’21,4″ = 23,43927778o.
Odredite geocentrične ekvatorske koordinate Ceresa za datum t = 1984 XII 13,0. Geocentrične pravokutne koordinate Sunca za datum 1984 XII 13,0 iznose:
Xo = 0,147528 , Yo = 0,892916 i Zo = 0,387161.
Rješenje: Prvo je potrebito odrediti srednju anomaliju M za zadani trenutak t. Premda se radi o kratkom vremenskom intervalu tτ0, njegov iznos odredit ćemo pomoću tablice julijanskih datuma (vidjeti 2. poglavlje):
t = 1984 XII 13,0 JD = 2446048,5
τ0 = 1984 X 27,0 JD= 2446001,5
—————————————————-
t-τ0 = 47d M =n(t-τ0) + M0 = (0,21419o /d)*47d + 260,117o
M = 270,18393o
Metodom iteracije rješavamo Keplerovu jednadžbu:
E0 = M = 270,18393o
= 265,6908332o
= 265,7045583o
E3 = 2657045584o = E
Prava anomalija f i radijusvektor r su:
f = 261,2337059o
r = a(1ecosE) = 2,782845787 a.j.
Heliocentrične ekliptičke koordinate (b, l) su:
prema sinb = sin(ω+f) sini, slijedi b = 4,607346422o = 4o36’26,4″
iz tg(lΩ) = tg(ω+f) cosi je l = 55,227317o = 55o13’38,3″
Pravokutne heliocentrične ekliptičke koordinate:
xh = r cosb cosl = 1,581989547 a.j.
yh = r cosb sinl = 2,27850192 a.j.
zh = r sinb = 0,223536901 a.j.
Pravokutne heliocentrične ekvatorske koordinate:
x = xh = 1,581989547 a.j.
y = yh cosε zh sinε = 2,179402674 a.j.
z = zh cosε + yh sinε = 0,701244408 a.j.
Geocentrične pravokutne ekvatorske koordinate:
x0 = x + X0 = 1,434461547 a.j.
y0 = y + Y0 = 1,286486674 a.j.
z0 = z + Z0 = 0,314083408 a.j.
Geocentrične ekvatorske koordinate:
= 41,88711751o = 2h47m32,9s
= 9o15’28,9″
= 1,9523 a.j.