Hrvatski

Kako rješavamo Keplerovu jednadžbu?

Preostalo je još komentirati kako se rješava Keplerova jednadžba. Naime, radi se transcedentnoj jednadžbi, čije rješavanje nije jednostavno. Jedan od načina je tzv. metoda iteracije. Koristi se kad je vrijednost e bliska nuli. U prvom približenju uzima se:

E0 = M.

Točnija vrijednost za E dobiva se u sljedećem koraku:

E1 = M + e sinE0

Kada izračunamo E1, još točnija vrijednost za E bit će:

E2 = M + e sinE1

Postupak se tako ponavlja (n­puta) :

En = M + e sinEn-1

do postizanja zadovoljavajuće točnosti. Potrebito je voditi računa da je vrijednost esinE u radijanima. Stoga, ako M iskazujemo u stupnjevima, potrebito je i veličinu e sinE iskazati u stupnjevima (tada je i rješenje E u stupnjevima). Najzgodnije je zato ekscentricitet pretvoriti u stupnjeve, množeći njegovu vrijednost s faktorom 57,2958o. Ekscentricitet iskazan u stupnjevima naziva se modificirani ekscentricitet i obično se označava kao e0 (e0 =e 180o /p).

Metoda daje dobre rezultate ako je e malen. Međutim, ako je e veće vrijednosti, ova jednostavna iterativna metoda nije pogodna. Za vrijednost e veću od 0,4 ili 0,5 koristi se iterativna formula:



koja se izvodi nešto složenijim računom (pomoću Newton­Raphsonove formule).

Približna vrijednost ekscentrične anomalije E može se (za slučaj kada je e malen) neposredno izračunati i po formuli:



U udžbenicima možemo pronaći i opis grafičkih metoda određivanja vrijednosti ekscentrične anomalije.

Ukratko rezimirajmo: poznavajući trenutak prolaza planeta kroz perihel (što možemo pronaći u astronomskim godišnjacima) ili neki drugi početni položaj planeta i siderički period ophoda, lako izračunavamo srednju anomaliju M, prema izrazu (3.28) . Rješavanjem Keplerove jednadžbe, iz srednje anomalije, uz poznavanje ekscentriciteta staze planeta, izračunavamo ekscentričnu anomaliju E. Tada, prema ranije izvedenim formulama (3.30) i (3.32), iz M i E izračunavamo heliocentrične polarne koordinate planeta r i f (sustav je u ravnini planetne staze!).

Sličan postupak može se provesti za slučaj kada je staza objekta parabola ili hiperbola. Parabolične staze posebno su zanimljive zato što se njihovi elementi lako mogu odrediti iz opažanja. Kometi otkriveni u blizini njihova perihela, gibaju se po luku, koji se malo razlikuje od luka parabole pa se stoga obično u prvoj aproksimaciji uzima da su njihove staze parabole. Polarni oblik jednadžbe parabole je:


(3.33)

gdje je f prava anomalija, a p/2 udaljenost perihela od Sunca. Može se pokazati da, radi nalaženja prave anomalije, za bilo koje vrijeme t, treba riješiti jednadžbu:


(3.33a)

gdje je t0 trenutak prolaza objekta perihelom. U nebeskoj mehanici t (i t0) iskazuju se srednjim sunčevim danima, udaljenost u astronomskim jedinicama, a masa u jedinicama Sunčeve mase.

Jednadžba (3.33a) obično se rješava numerički. Ovdje navodimo analitičko rješenje, koje je izveo F.R. Moulton. Do njega se dolazi tako da se prvo izračunaju veličine s i ω prema formulama:





nakon čega se nalazi prema formuli:



Nakon što izračunamo f, prema polarnoj jednadžbi hiperbole (3.33), izračunavamo radijusvektor r.

Postupak nalaženja položaja objekta na hiperboli sličan je postupku opisanom za slučaj eliptične putanje. Staze mnogih kometa su hiperbole. Meteoridi koji ulaze u atmosferu, gibaju se po hiperboli u čijem je fokusu središte Zemlje. Polarni oblik jednadžbe hiperbole glasi:


(3.34)

Uvodi se veličina F (analogna ekscentričnoj anomaliji E) prema relaciji:

r = a(e cshF ­ 1)

Izračunavanje veličine F svodi se na rješavanje jednadžbe slične Keplerovoj:



Prava anomalija nalazi se pomoću izraza:



U nebeskoj mehanici posebice je značajan slučaj kada je ekscentricitet staza tijela blizak jedinici (e»1). Takve izrazito eliptične staze imaju mnogi kometi, a također i većina umjetnih satelita. Ovaj problem rješava se posebnim načinom, u što nećemo ulaziti.