Osnovnih znanja iz analitičke geometrije
Stožasti presjeci (čunjosjeci)
Izgled elipse, parabole i hiperbole najbolje je vidljiv iz tzv. presjeka beskonačnog čunja ili stošca. Na slici 3.22 prikazan je jedan takav stožac. Presjecišta ravnina položenih okomito na os stošca su kružnice. Ravnine, koje su, s obzirom na os stošca, položene pod izvjesnim kutom, ali tako da sijeku samo jedan dio stošca (gornji ili donji), daju elipse. Ravnine položene tako da jedan dio stošca sijeku, a drugi dio tangiraju, u presjecištima tvore krivulje koje nazivamo parabole. Presjecišta ravnina paralelnih s osi stošca su hiperbole (hiperbola ima dvije grane).
Definirat ćemo sada svaku od ovih krivulja planimetrijski (u ravnini) i izvesti njihove jednadžbe. Kako je kružnica posebni slučaj elipse, nećemo je zasebno razmatrati.
Elipsa
Odaberimo dvije točke, F1 i F2 (sl.3.23), koje ćemo zvati žarišta (ili fokusi). Skup točaka u ravnini za koje vrijedi da je zbroj njihovih udaljenosti (radijusvektora) r1 i r2 od žarišta konstantan i uvijek veći od udaljenosti F1F2, nazivamo elipsom. Kada radijusvektore položimo na pravac F1F2 , očito je:
r1 + r2 = 2a
gdje je a velika poluos elipse. Udaljenost OF1 = OF2 = (F1F2)/2 je linearni ekscentricitet elipse (c). Dakle, za elipsu je:
c < a
Postavimo pravokutni koordinatni sustav u ravnini tako da je ishodište sustava u točki O, a x-os u pravcu OF2 . Fokusi elipse tada imaju koordinate F1 (-c,0) i F2 (c,0). Za bilo koju točku T(x,y), po definiciji elipse, vrijedi:
F1T + F2T = 2a .
Udaljenosti na lijevoj strani ovog izraza mogu se izračunati kao udaljenosti točaka (poznatih koordinata) u ravnini (primjenjujemo Pitagorin poučak), pa ćemo dobiti:
Kako vrijedi da je b2 = a2 -c2 (provjerite!), gornji izraz nakon pojednostavljenja prelazi u:
(3.8)
što je najpoznatiji oblik jednadžbe elipse (tzv. osna jednadžba elipse kojoj je središte u ishodištu koordinatnog sustava).
Sl.3.22 Presjeci stošca
Numerički ekscentricitet elipse (e) definira se kao omjer linearnog ekscentriciteta (c) i velike poluosi (a) elipse:
i za elipsu vrijedi:
0 ³ e < 1
Mogućnost e = 0 uvodi kružnicu kao poseban slučaj elipse. Kod elipse često se definira i parametar 2p, kao duljina tetive koja prolazi fokusom i stoji okomito na glavnu os. Lako se pokazuje da za poluparametar p elipse vrijedi:
(3.8a)Sl.3.23 Uz izvod jednadžbe elipse
Hiperbola
Skup točaka za koje vrijedi da je apsolutna vrijednost razlike radijusvektora konstantna, naziva se hiperbola (sl.3.24):
|r1 – r2| = 2a
pri čemu je 2a glavna os hiperbole. Linearni ekscentricitet hiperbole definira se pomoću fokusne udaljenosti F1F2 :
Točke A1 i A2 su tjemena ili vrhovi hiperbole. Kao što vidimo, hiperbola ima dvije grane, simetrične s obzirom na točku 0. Kod definiranja hiperbole potrebno je posebno naglasiti da treba vrijediti relacija:
2c > 2a
odnosno:
c > a
Odaberemo li pravokutni koordinatni sustav s ishodištem u točki 0 i s x-osi u pravcu 0F2 , lako se pokazuje da osna jednadžba hiperbole glasi:
(3.9)
pri čemu vrijedi:
b2 = c2 – a2
gdje je b sporedna poluos hiperbole. Numerički ekscentricitet hiperbole je:
(3.9a)
Položimo li pravac kroz fokus hiperbole okomito na x-os (sl.3.24), on siječe hiperbolu u dvije točke T1 i T2 . Udaljenost ovih točaka naziva se parametar hiperbole (2p). Za poluparametar hiperbole vrijedi:
(3.9b)
Parabola
Parabolu (sl.3.25) definiramo kao skup točaka u ravnini jednako udaljenih od odabrane točke (fokusa F) i pravca d (direktrisa). Postavimo koordinatni sustav kako je prikazano na sl.3.26. Udaljenost direktrise i fokusa neka je p. Očito je tada jednadžba direktrise x = -p/2. Odaberemo li proizvoljnu točku T(x,y) parabole, prema definiciji parabole lako izvodimo tzv. tjemenu jednadžbu parabole (naziv tjemena je stoga što je ishodište koordinatnog sustava u tjemenu parabole):
y2 = 2px (3.10)
Tetiva BB’ položena kroz fokus parabole i okomito na x-os naziva se parametar parabole. Parametar parabole jednak je 2p, jer kada u jednadžbu (3.10) za x uvrstimo p/2 slijedi y = p, a to su ordinate točaka B i B’, pa je udaljenost BB’ = 2p.
Sl.3.25 Uz definiciju parabole
Sl.3.26 Uz izvod jednadžbe parabole
Polarne jednadžbe čunjosječnica
Položaj točke u polarnom sustavu u ravnini određuju se dvjema koordinatama: udaljenošću r točke od ishodišta (iznos radijusvektora) i kutom f’ između x-osi i pripadnog radijusvektora (mjeri se u suprotnom smjeru od gibanja kazaljke na satu).
Na sl.3.27 prikazana je parabola u pravokutnom koordinatnom sustavu i istovremeno u polarnom sustavu, kojemu je ishodište u fokusu parabole. Udaljenost bilo koje točke T parabole od direktrise i fokusa je jednaka. Udaljenost točke T od fokusa F jednaka je radijusvektoru r, pa je TD=r i Tx D’=r. Nadalje je:
r = D’Tx = D’F + FTx = p + r cosf’
iz čega slijedi jednadžba parabole u polarnom sustavu ili tzv. polarna jednadžba parabole:
(3.11)
Na slici 3.28 prikazana je elipsa tako da je ishodište polarnog sustava u lijevom fokusu F. Primjenom kosinusova poučka na trokut F1TF2 dobivamo:
r22 = r12 + 4c2 – 4cr1 cosf’
Prema definicije elipse je:
r22 = 4a2 – 4ar1 + r12
Izjednačavanjem desnih strana posljednjih dvaju izraza (te zanemarujući indekse) dobivamo polarni oblik jednadžbe elipse:
uz e<1 (3.12)
Jednakim načinom dobivamo polarnu jednadžbu (desne grane) hiperbole:
uz e>1 (3.13)
Sl.3.27 Uz izvod polarne jednadžbe paraboleSl.3.28 Uz izvod polarne jednadžbe elipse
U astronomiji se upotrebljava kut f (tzv. prava anomalija), koji se broji od perihela i u smjeru gibanja planeta oko Sunca (u smjeru kazaljke na satu). Prema tome je 1800–f=f’, a kako vrijedi cosf’ = cos( π-f) = -cosf, polarne jednadžbe čunjosječnica iskazane preko kuta f glase:
parabola:
(3.14a)
elipsa:
uz e < 1 (3.14b)
hiperbola:
uz e > 1 (3.14c)
U astronomiji se obično koriste posljednje jednadžbe pri čemu se, prema potrebi, veličine p i e mogu izraziti i preko drugih parametara krivulja (npr. prema (3.8a) ili (3.9a)).
Elipsa je zatvorena krivulja, dok su parabola i hiperbola otvorene krivulje. Npr. umjetni Zemljin satelit, koji ima početnu brzinu između prve i druge kozmičke brzine (od 7,9 do 11,2 km/s), giba se oko Zemlje po elipsi. Ako je brzina veća od 11,2 km/s, satelit napušta Zemlju gibajući se po hiperboli. U graničnom slučaju, kada je brzina satelita točno jednaka drugoj kozmičkoj brzini (brzini oslobađanja), satelit napušta Zemlju po stazi koja je parabola (sl.3.29). Da bi satelit napustio Zemlju, njegova kinetička energija treba biti veća od potencijalne (računa li se potencijalna energija od središta Zemlje). Pri kruženju kinetička energija je manja od potencijalne. Kao što ćemo vidjeti, Newtonov zakon gravitacije predviđa čunjosječnice za staze tijela u gravitacijskom polju i to upravo u ovisnosti o omjeru kinetičke i potencijalne energije tijela.
Sl.3.29 Staze umjetnih Zemljinih satelita u ovisnosti o početnoj brzini