Zadaci

Izračunajte:

1. Uz pretpostavku da je staza planeta kružnica, pokažite da je iznos kinetičke energije planeta jednak polovičnoj vrijednosti potencijalne energije (virijalni teorem) te da je ukupna energija planeta dana izrazom:

gdje je M masa Sunca, m masa planeta, r udaljenost planeta od Sunca i G gravitacijska konstanta. (Spomenimo da virijalni teorem vrijedi općenito za sustav točkastih masa, vezanih gravitacijskom silom)

2. Pokažite da je Gaussova konstanta (k = (GM)^1/2) jednaka:

gdje je T period ophoda Zemlje oko Sunca, dok je a velika poluos staze. Na koji je način definirana astronomska jedinica?

3. Pokažite da se srednja anomalija M može pisati u obliku:

gdje je k Gaussova konstanta, “a” velika poluos staze i t₀ trenutak prolaza perihelom.

4. U umanjenom mjerilu skicirajte Zemljinu stazu (zanemarite ekscentricitet) i stazu kometa čiji su elementi:

a = 2a.j. ; e = 0,8 ; i= 7^o ; Ω = 30^o ; ω = 45^o

Pri crtanju zanemarite inklinaciju kometske staze.

Rješenje: Odaberimo točku S, koja predstavlja Sunce. šestarom opisujemo stazu Zemlje, polumjera r = 1a.j. Proizvoljno ucrtavamo pravac Sγ (Sunceproljetna točka) te u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu mjerimo kut Ω i ucrtavamo pravac NN’. U odnosu na pravac NN’ pod kutem ω=45^o u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (jer je i < 90^o) postavljamo pravac KK’ (linija apsida kometske staze). Perigej π kometa nalazi se u udaljenosti od Sunca jednakoj a(1e)=0,4 a.j. Drugo žarište elipse nalazi se u udaljenosti 2c od žarišta S:

SS’ = 2c = 2ea = 2·0,8·2 = 3,2 a.j.

Afel je u udaljenosti a(1+c) = 3,2 a.j. od točke S’. Nakon što smo odredili točke SS’, pomoću konopca ukupne duljine 2a, čiji su krajevi učvršćeni u točke S i S’, konstruiramo stazu kometa.

5. Pokažite da je relacija

ekvivalentna izrazu (3.32):

gdje je f prava anomalija, a E ekscentrična anomalija.

6. Riješite Keplerovu jednadžbu M = E e sinE, ako je e = 0,123 i M = 6^o.

Rješenje:

a) prvi način: jednostavna metoda iteracije

E₀ = M = 6^o

6,736651893^o

6,826700348^o

E₃ = 6,837698812^o

E₄ = 6,839042017^o

E₅ = 6,839206055^o

E₆ = 6,839226089^o

E₇ = 6,839228535^o

E₈ = 6,839228834^o

E₉ = 6,839228870^o

E₁₀ = 6,839228875^o

E₁₁ = 6,839228875^o = E₁₀ = E

b) drugi način: približno rješenje slijedi neposredno iz izraza:

E = 6,839263061^o

(Napomena: u ovom slučaju postignuta je točnost od 0,0001^o. Općenito točnost ove metode ovisi o vrijednosti ekscentriciteta e)

c) treći način: iteracija pomoću izraza:

E_o = M = 6^o

= 6,839323092^o

= 6,839228875^o = E

Već u trećem “koraku” imamo točnost 0,000000001^o.

7. Velika poluos staze kometa iznosi a = 4 a.j., dok je numerički ekscentricitet e = 0,66144. Odredite pravu anomaliju (f) i radijusvektor (r) kometa godinu dana nakon prolaza kometa perihelom.

Rješenje: Prema trećem Keplerovom zakonu T² = a³, slijedi da je T = 8 god.

E₀ = M = 45^o

= 95,34411714^o

= 83,46481077^o

E₃ = 82,58525263^o

E₄ = 82,58040508^o

E₅ = 82,58040493^o = E

Pravu anomaliju možemo izračunati prema izrazu (5.zadatak):

f = 125,592093^o

r = a(1 – e cosE) = 3,658340473 a.j.

8. Elementi staze malog planeta Ceresa za epohu τ₀ = 1984 X 27,0 su:

a = 2,7666a.j. ; n = 0,21419^o /d ; e = 0,0784 ; i = 10,606^o ; Ω = 80,718^o ; ω = 72,890^o ; M = 260,117^o. Kut između ravnine zemaljskog ekvatora i ekliptike za zadanu epohu t iznosi e = 23^o26’21,4″ = 23,43927778^o.

Odredite geocentrične ekvatorske koordinate Ceresa za datum t = 1984 XII 13,0. Geocentrične pravokutne koordinate Sunca za datum 1984 XII 13,0 iznose:

X_o = 0,147528 , Y_o = 0,892916 i Z_o = 0,387161.

Rješenje: Prvo je potrebito odrediti srednju anomaliju M za zadani trenutak t. Premda se radi o kratkom vremenskom intervalu tτ₀, njegov iznos odredit ćemo pomoću tablice julijanskih datuma (vidjeti 2. poglavlje):

t = 1984 XII 13,0 JD = 2446048,5

τ₀ = 1984 X 27,0 JD= 2446001,5

—————————————————-

t-τ₀ = 47^d M =n(t-τ₀) + M₀ = (0,21419^o /d)*47^d + 260,117^o

M = 270,18393^o

Metodom iteracije rješavamo Keplerovu jednadžbu:

E₀ = M = 270,18393^o