Gibanja i osnovne planetske konfiguracije
B1.4
Ekscentriciteti planetnih staza, kao i kutovi pod kojima su staze položene prema ravnini ekliptike, relativno su mali. Stoga se, pri približnom razmatranju gibanja u Sunčevom sustavu, ekscentriciteti i inklinacije planetnih staza zanemaruju. Pretpostavljamo da se planeti gibaju po koncentričnim kružnicama u ravnini, a u središtu kružnica je Sunce.
Na slici B1.4.1 prikazani su karakteristični položaji koje zauzimaju planeti u odnosu na Zemlju i Sunce. Kod donjih planeta to su: gornja konjunkcija (planet je na suprotnoj strani od Sunca), donja konjunkcija (planet je između Zemlje i Sunca), zapadna i istočna maksimalna elongacija (planet je u najvećoj kutnoj udaljenosti od Sunca i u tom je položaju trokut planet ‑ Zemlja ‑ Sunce pravokutan, s pravim kutom u vrhu gdje je planet). Maksimalna elongacija Merkura je oko 28o, Venere oko 48o. Stoga se donji planeti vide ili u ranim jutarnjim satima nad istočnim horizontom prije izlaska Sunca (zapadna elongacija) ili u večernjim satima nakon zalaska Sunca (istočna elongacija).
Sl. B1.4.1 Osnovni uzajamni položaji (konfiguracije) planeta i Sunca
Zbog eliptičnosti planetnih staza kut maksimalne elongacije nije konstantan (sl. B1.4.2). Karakteristični položaji gornjih planeta su: konjunkcija, opozicija, istočna i zapadna kvadratura. Radi izbjegavanja zabune spomenimo da se termin konjunkcija upotrebljava i za prividni “bliski” susret dvaju objekata na nebeskoj sferi (npr. konjunkcija Mjeseca i Venere i sl.).
Sl. B1.4.2 Maksimalna elongacija nije konstantna. Razlog je eliptičnost planetnih staza.
Uz pretpostavku da su planetne staze kružnice, položaj planeta u odnosu na Sunce može se definirati tzv. heliocentričnom longitudom (duljinom) planeta. To je kut (l) između pravca Sunce-proljetna točka i pravca Sunce-planet (sl. B1.4.3). Pozitivan je u smjeru gibanja planeta oko Sunca. Na sličan način definira se položaj planeta u odnosu na Zemlju pomoću kuta l’, kojeg nazivamo geocentrična longituda (duljina) planeta i jednak je kutu između pravca Sunce‑proljetna točka i pravca Zemlja‑planet. Poznavajući heliocentričnu longitudu Zemlje i heliocentričnu longitudu nekog planeta, grafičkim putem lako se određuje geocentrična longituda planeta i time njegov približni položaj na nebeskoj sferi. Jasno, u ovom približnom postupku pretpostavlja se da su staze svih planeta u ravnini ekliptike. Pretpostavimo da je za određeni trenutak vremena poznat položaj planeta na njihovim stazama, dakle, da su poznate njihove heliocentrične longitude (l). Neka je poznata i heliocentrična longituda Zemlje (L). Ove vrijednosti mogu se pronaći u astronomskim godišnjacima i uz poznavanje udaljenosti planeta od Sunca (u astronomskim jedinicama), moguće je u umanjenom mjerilu nacrtati planetne staze i prikazati položaje planeta za dani trenutak vremena. Iz takvog crteža lako se geometrijskim putem pronalaze geocentrične longitude planeta (čime je određen njihov približni položaj na nebeskoj sferi), a može se približno odrediti geocentrična udaljenost svakog od planeta. Radi predviđanja položaja planeta za neki naredni vremenski trenutak, potrebno je konstruirati novi crtež s konfiguracijama planeta. Novi položaji planeta mogu se pronaći konstrukcijom ukoliko znamo za koliko se u pripadajućem vremenu povećala heliocentrična longituda pojedinog planeta. U tu svrhu poslužit će podatak o heliocentričnoj kutnoj brzini planeta koja je dana izrazom 360o/T, gdje je T siderički period planeta. Ovim jednostavnim postupkom moguće je približno proračunavati buduće položaje planeta na njihovim stazama i na nebeskoj sferi. Moguć je i obrnuti postupak, kojim se iz poznatih položaja planeta na nebeskoj sferi nalazi njihov položaj u odnosu na Sunce.
Geometrijska metoda daje točnije rezultate ukoliko kružnice, koje predstavljaju planetne staze, nisu koncentrične, već pomaknute za iznos linearnog ekscentriciteta. Egzaktan postupak temelji se na analitičkom pristupu, uzimajući u obzir eliptičnost planetnih staza i njihovu prostornu orijentaciju, što je opisano u podpoglavlju B3.
Sl. B1.4.3 Definiranje položaja planeta u odnosu na Sunce i Zemlju. Kut l je heliocentrična longituda, a kut l’ je geocentrična longituda.
Planetske faze i magnitude
Planeti pokazuju faze slične Mjesečevim. Formula za izračunavanje faze Mjeseca iz vrijednosti faznog kuta izvedena je u podpoglavlju C1. Izraz vrijedi i za izračunavanje planetnih faza i on glasi:
gdje je Φ faza, a β je kut pod kojim bi se s planeta vidjela udaljenost Sunca i Zemlje (fazni kut). Iz kosokutnog trokuta Sunce-Zemlja-planet lako se pokazuje da je fazni kut planeta dan izrazom:
gdje je r udaljenost planeta od Sunca, r udaljenost planeta od Zemlje, dok je ρ udaljenost Zemlje od Sunca, koja se može izračunati iz izraza:
pri čemu su X0, Y0 i Z0 tzv. pravokutne geocentrične koordinate Sunca (vidjeti u podpoglavlju B3.2). Kod donjih planeta fazni se kut mijenja od 0o (kada je planet u gornjoj konjunkciji) do 180o (donja konjunkcija). Kod gornjih planeta fazni kut poprima najveću vrijednost u kvadraturama. Faza Marsa uvijek je veća od 0,84, dok je za sve udaljenije planete bliža jedinici. Zanimljiva pojava vezana uz Venerine faze je tzv. dihotomija. Naime, opažana faza ne podudara se egzaktno s izračunatom (geometrijskom). Pojavu je otkrio njemački astronom amater Johann Schröter 1790. godine i ispravno je pripisao raspršenju sunčane svjetlosti u Venerinoj gustoj atmosferi.
Planeti svijetle iz razloga što su obasjani sunčanom svjetlosti. Osvijetljenost (E) koju oni daju nije konstantna. Obrnuto je razmjerna kvadratu udaljenosti ρ planeta od Zemlje i kvadratu udaljenosti r planeta od Sunca, dok je razmjerna površini planetske ploče (koja iznosi πD2/4, gdje je D dijametar planeta), albedu A (koji predstavlja refleksijska svojstva planeta), solarnoj konstanti P (koja je jednaka Sunčevoj iradijanciji, tj. snazi zračenja koja dolazi po jedinici okomite površine) i tzv. faznoj funkciji f(β):
Fazna funkcija pokazuje kako na promjene sjaja planeta utječe promjena faznog kuta β. Promjeni osvijetljenosti koju daju planeti u manjoj mjeri doprinosi i rotacija planeta, a teoretski na nju ima i utjecaja promjenjivost Sunčeva zračenja. Kako su promjene ukupnog elektromagnetskog zračenja Sunca promilskih iznosa, u ovom su slučaju zanemarive (spomenimo da su se prvi pokušaji mjerenja promjene Sunčeva zračenja zasnivali upravo na promjeni osvijetljenosti, odnosno prividne veličine Plutona).
Neka je E’ osvijetljenost koju bi davao planet kada bi se nalazio na udaljenosti jedne astronomske jedinice od Sunca i od Zemlje. Pretpostavimo li i da je opažani fazni kut 00 (što je fizički nemoguće jer bi se motritelj morao nalaziti u središtu Sunca), tada je osvijetljenost od planeta dana izrazom:
i pripadajuća prividna zvjezdana veličina ili magnituda g planeta naziva se apsolutnom zvjezdanom magnitudom planeta. Kako se fazna funkcija normalizira na način da je f(β = 00) = 1, posljednji se izraz može pisati u obliku:
Ukoliko je m prividna zvjezdana veličina planeta na bilo kojoj drugoj udaljenosti od Zemlje i Sunca, tada je veza osvijetljenosti i prividne veličine dana poznatim Pogsonovim zakonom:
Uz izraze (B1.4.4) i (B1.4.5), nalazimo:
Logaritmiranjem posljednjeg izraza, slijedi:
Kod određivanja prividnih zvjezdanih veličina planeta, a i drugih tijela Sunčeva sustava, najveću poteškoću predstavlja posljednji član na desnoj strani jednadžbe (B1.4.6). Naime, fazna funkcija za mnoga tijela nije dovoljno dobro poznata. Opažanjem se može odrediti ovisnost apsolutne zvjezdane veličine o faznom kutu, što se naziva faznom krivuljom, a ekstrapolacijom za β = 0, iz te se krivulje može odrediti apsolutna zvjezdana magnituda planeta (g).
Funkcija f’(β) može se napisati u obliku:
gdje su , i empirijski koeficijenti. Kao primjer navodimo izraze koji se mogu upotrijebiti za računanje prividnih zvjezdanih veličina planeta Sunčeva sustava:
Merkur
Venera
Mars
Jupiter
Saturn
pri čemu je kut B saturnocentrična širina promatrača. Sinus ovog kuta jednak je omjeru projekcija na nebesku sferu male i velike poluosi prstena. Kut B mijenja se od 00 (kada prsteni prividno iščezavaju) do 280. Kut E je tzv. saturnocentrična razlika duljina Sunca i promatrača prema ravnini Saturnovih prstena. Poprima vrijednosti od 00 do 60. Vrijednosti kutova B i E mogu se pronaći u astronomskim godišnjacima. Položaji Saturnovih prstena bitno doprinose ukupnoj prividnoj veličini Saturna.
Uran
Neptun
Udaljenosti u navedenim izrazima dane su u astronomskim jedinicama.
Na sličan način moguće je izračunavati i prividne zvjezdane veličine planetnih satelita. Zemljin satelit Mjesec u fazi uštapa ima sjaj ekvivalentan zvijezdi prividne zvjezdane veličine -12,5. Zanimljivo je da se funkcija sjaja Zemlje nalazi iz opažanja promjena sjaja Mjesečeve pepeljaste svjetlosti, koja je sa Zemlje reflektirana Sunčeva svjetlost.
Prividne zvjezdane veličine kometa izračunavaju se pomoću izraza oblika:
gdje je k konstanta za pojedini komet (obično poprima vrijednost od 5 do 15).
Za male planete obično se upotrebljava izraz:
pri čemu je za većinu malih planeta k = 0,023.
BONDOV I GEOMETRIJSKI ALBEDO
Albedo ukazuje koliko neko tijelo učinkovito reflektira svjetlost. U astronomiji se upotrebljavaju dvije vrste albeda, Bondov (ili sferni) i geometrijski.
Bondov albedo predstavlja omjer između toka zračenja koje napušta tijelo i upadnog toka zračenja i može poprimiti vrijednosti od 0 do 1. Pri tome se uzimaju u obzir sve valne duljine i sve vrijednosti faznog kuta. Ukoliko se upadno zračenje reflektira izotropno, tada je određivanje Bondovog albeda jednostavno. Međutim, za realna tijela to nije slučaj. Refleksija je obično anizotropna. Za sferna tijela uzima se da raspodjela reflektiranog zračenja ovisi o faznom kutu, odnosno faznoj funkciji.
Geometrijski albedo definira se kao omjer između reflektiranog toka zračenja za fazni kut jednak nuli i toka zračenja Lambertove površine koja ima jednaki poprečni presjek kao i stvarno tijelo (planet). Lambertova površina definira se kao apsolutno bijela, difuzna površina koja reflektira čitavo upadno zračenje. Pri tome je intenzitet svjetlosti s Lambertove površine razmjeran kosinusu kuta između pravca opažanja i okomice na površinu. Mnoga hrapava tijela reflektiraju većinu upadnog zračenja neposredno u suprotnom smjeru od upadnog zračenja. U tom je slučaju geometrijski albedo veći negoli za površinu koja reflektira izotropno. Geometrijski albedo za većinu tijela Sunčeva sustava poprima vrijednost od 0,03 do 1, a u najvećem broju slučajeva od 0,1-0,5.
Vrijednost geometrijskog albeda može se odrediti neposrednim opažanjem. Međutim, da bi odredili Bondov albedo potrebno je poznavati faznu funkciju. Ona je slabo poznata za gornje planete, koji se mogu opažati u ograničenim vrijednostima faznog kuta. Zanimljivo je da se određivanjem prividne zvjezdane veličine nekog planetoida za opozicije, može procijeniti njegova veličina ukoliko pretpostavimo vrijednost geometrijskog albeda.
Razmislite:
1Možemo li vidjeti Merkur navečer nad istočnim horizontom? Zašto?
2 Kako se zovu položaji (donjih i gornjih) planeta kada su najpovoljniji za opažanja?
3. Promatrani planet ima elongaciju 130°. Je li donji ili gornji planet?
4. Dana 29.2.1992. Jupiter je u opoziciji. U kojem se zviježđu tada nalazi?
/radi lakšeg rješavanja skicirajte/
5. Venera je u istočnoj elongaciji bila 17. srpnja 1991. U kojem se zviježđu tada nalazila?
/radi lakšeg rješavanja skicirajte/
Izračunajte:
1. Odredite udaljenost Venere (u astronomskim jedinicama) od Sunca i Zemlje, ako je njena maksimalna elongacija 48°.
/Skicirajte i uočite pravokutan trokut u čijim su vrhovima Sunce, Venera i Zemlja. Rješenje: 0,74 AJ i 0,67 AJ/
2. Kolika je maksimalna elongacija Zemlje gledano s Jupitera koji je od Sunca udaljen 5,2 AJ?
/11,10/
3. Mars je u opoziciji opažan 27. kolovoza 2003. godine. Nakon što je protekla Marsova siderička godina (1,88 god), opažan je 46° daleko u odnosu na položaj koji je imao pri opoziciji. Izračunajte (u astronomskim jedinicama) Marsovu udaljenost od Sunca, te njegovu udaljenost od Zemlje pri opoziciji i nakon što je protekla jedna Marsova siderička godina.
/Uzajamni položaji Marsa i Zemlje prikazani su na priloženom crtežu/
Trokut kojeg određuju karakteristični položaji Marsa, Zemlje i Sunca je kosokutan. Kut α odgovara kutnoj udaljenosti planeta u dva položaja gledano sa Zemlje; u opoziciji i nakon jedne sideričke godine planeta. Kut γ, s vrhom u Suncu, određen je položajima planeta i Zemlje, nakon što protekne jedna siderička godina planeta (T). Za vrijeme sideričke godine planeta, Zemlja opiše po svojoj stazi kut 360°· T. Zemlja može više puta obići stazu (k-puta), pa u odnosu na položaj pri opoziciji opiše dodatni kut T.360° – k·360°. Prema tome, kut γ je dan izrazom:
Preostali kut β u trokutu Sunce-Zemlja-planet s vrhom u položaju Zemlje, izvodi se iz činjenice da je zbroj kutova u trokutu 180°. Udaljenost r planeta od Sunca može se dobiti iz izraza:
pri čemu je rz udaljenost Zemlje od Sunca.
/Rješenje: 1,39 AJ; 0,39 AJ; 0,95 AJ /
4. Dana 24. prosinca 2007. godine Mars je u opoziciji imao prividnu zvjezdanu veličinu oko 1,6 i bio je udaljen od Zemlje oko 0,6 AJ. Kolika je prividna zvjezdana veličina Marsa za sljedeće opozicije, 29. siječnja 2010. godine, kada je daleko od Zemlje oko 0,7 AJ. Pretpostavite da je za obje opozicije Mars jednako daleko od Sunca.
/Pod pretpostavkom da je za obje opozicije Mars jednako daleko od Sunca to znači i da prima jednaki tok zračenja. U opoziciji je fazni kut nula, pa je i albedo za obje opozicije jednak (uz pretpostavku da nema značajnih atmosferskih promjena u Marsovoj atmosferi). Uz te pretpostavke osvijetljenost je ovisna samo o udaljenosti motritelja od Marsa, odnosno obrnuto je razmjerna kvadratu udaljenosti odmotritelja. Dakle, vrijedi pa vrijedi:
Omjer osvijetljenosti povezan je s pripadajućim prividnim zvjezdanim veličinama Pogsonovim zakonom:
Prema tome je:
pa nakon logaritmiranja posljednjeg izraza, nalazimo:
/
Napravite:
1. U astronomskom godišnjaku pronađite podatke o heliocentričnim longitudama velikih planeta za početak tekuće godine (0.siječnja). Nacrtajte planetne staze u umanjenom mjerilu (uz pretpostavku kružnih staza koje leže u istoj ravnini) i ucrtajte početne položaje planeta na temelju podataka o heliocentričnim longitudama. Postupak provedite za donje i gornje planete zasebno. Geometrijskim putem odredite geocentrične longitude planeta, te položaj planeta na nebeskom svodu (zviježđa u kojima su planeti vidljivi). Očitajte geocentrične udaljenosti planeta, izmjerite fazne kutove Merkura, Venere i Marsa te pomoću izraza (B1.4.1) i (B1.4.2) izračunajte pripadne faze tih planeta. Poznavajući period ophoda planeta oko Sunca i njihovu srednju udaljenost od Sunca, izračunajte srednju kutnu brzinu za svaki od planeta. Na temelju tih podataka i poznatih početnih položaja planeta, konstruirajte položaje planeta za naredni period vremena (npr. za danu godinu, ucrtavajući položaje planeta za svakih 5‑15 dana). Odredite položaje planeta na nebeskoj sferi, pripadne geocentrične udaljenosti i faze (za donje planete). U koje doba godine su pojedini planeti pogodni za opažanja? Kada se pojedini planeti gibaju retrogradno? Provedite suprotan postupak, tj. iz opažanih položaja i faza donjih planeta (npr. Venere) konstrukcijom pronađite njihove heliocentrične položaje.
Svi potrebni podaci nalaze se u tablicama B1.2.1 i B1.3.1. Potrebno je imati astronomski godišnjak te pribor za crtanje. Radi određivanja faze Venere iz opažanja neophodan je teleskop.
